Знакопеременные ряды — ряды с комплексными членами

Рассмотрим

Замечание:1)Признак Лейбница явл. достаточным услов.2) теорема остается справедливой в части сходимости если монот. послед. An выполняется с некоторого места.

20. Знакопеременные ряды, ряды с комплексными членами. Абсолютная и условная сходимость. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.

Определение: Ряды содержат как положит та и отрицат члены, наз знакопеременными

Док-во:

Ряды с комплексными членами

Определение: Если сх. ряд , то ряд наз. абсолютно сходящимся Если ряд расходится, а исходный ряд

то сходится условно(неабсалютно)

Теорема: абсол. сход. ряда при любой перестановке его членов остается абсол. сход. и его сумма не изменяется.

Замечание: Утверждение теоремы справедливо для любого сход. знакопостоянного ряда. Условно сход ряды этим св-ом не обладают.

Теорема(Римана) Если дан ряд сходящийся условно, то каково бы ни было наперед заданное число А, можно так переставить члены ряда, что преобразованный ряд станет расходиться и будет иметь своей суммой А

21. Равномерная сходимость функционального ряда. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости.

Рассмотрим

Определение: Рад вида наз. функциональным рядом. Если рядсход. то значение наз. точкой сход. функционального ряда.

Мн-во всех точек сходимости фун. ряда наз областью сходимости.

— сумма функционального ряда

-n-ый остаток функц ряда

Сходимость функц ряда в каждой точке х принадлежащей области Д наз поточечной сходимостью.

Функциональный ряд наз абсолютно сходящийся на мн-ве Д, которое явл подмножеством Х, если в каждой точке мн-ва Д1 сход ряд

Равномерная сходимость функционального ряда

Определение: Функц ряд наз равномерно сходящимся к функции S(x) на D если для любого Е>0сущ номер N зависящий только от Е.

Определение: числовой ряд с неотриц членами наз мажорантой для функционального ряда если

1) для любого n

2)ряд сходится

Теорема: (признак Вейерштрасса) если у функционального ряда на мн-ве D сущ сходящаяся мажоранта, то функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно на мн-ве D.

Замечание: признак Вейерштрасса дает лишь достаточное условие равномерной и абсолютной сход функц ряда.

22.Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов: теоремы о непрерывности суммы, о почленном дифференцировании и почленном интегрировании.

Теорема1:(о непрерывности функционального ряда)

1)Пусть все члены ряда непрерывны на D

2) ряд— сходится равномерно на мн-ве D, тогда S(x) явл непрерывной функцией на мн-ве D

Теорема2: ( о по членном интегрировании функц ряда)

1) непр.[a;b]

2) сходится равномерно на [a;b], тогда возраст можно интегр на

причем сход равномерно на [a;b]

Теорема3: ( о почленном диф функц ряда)

Пусть:

1) сход на [a;b]

2) непрерывно диф на [a;b]

3)-сход равномерно на [a;b]

Тогда ряд — можно диф почленно

-т. е. S(x) непрер диф функция

23. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал (круг) сходимости степенного ряда.

Функциональные ряды вида (1), где , , R или (1’), где ,,