Знакопеременные и знакочередующиеся ряды
Вывод: ряд Дирихле
при
Этот ряд удобно использовать в признаках сравнения.
28.Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.
Ряд вида: (1)
Остатком ряда (1) называется сумма: (2)
Теорема (Признак Лейбница) – дан знакочередующий ряд (1), тогда если:
1.Члены ряда убываю по абсолютному значению начиная с некоторой последовательности: (3)
2.Предел
То ряд (1) сходится и его сумма не превосходит 1-ого члена ряда — остаток ряда удовлетворяет неравенство
.
Ряд удовлетворяющий теореме Лейбница называется рядом Лейбница. Неравенство дает оценку остатка ряда Лейбница.
Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов: Пусть даны два ряда и
, они сходятся абсолютно к
;
, тогда:
1)Ряд ;
2)Ряд , (где α – действительное число);
3)Пусть ряда – сходится условно, тогда оба ряда полученных только из положительных и только из отрицательных членов этого ряда расходятся;
4)Если ряд – сходится абсолютно и его сумма равна A, то при перестановке его членов ряд остается сходящимися и его сумма не меняется;
5)Если ряд – сходится условно, то наперед заданного числа C, существует перестановка членов ряда, такая, что сумма полученного ряда равна C.
29.Функциональные ряды. Область сходимости. Сходимость ряда .
Ряд (1)
Ряд (1) называется функциональным, т. к. его члены являются функциями от x. Давая x определить числовые значения мы получим различные числовые ряды, которые могут сходится или расходится.
Определение: Совокупность тех значений x, при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.
Сумма ряда обозначается S(x) и она является функцией от (x).
– это ряд геометрической прогрессии, со знаменателем q = x. Ряд сходится
, т. е.
или
— область сходимости.
,
.
30.Степенные ряды . Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.
Среди функций рядов особую роль играют ряды, членами которых являются степенные функции.
Определение: Степенным рядом называется функция ряда вида:
(1)
— постоянные числа, называются коэффициенты ряда.
— действительная переменная.
Рассмотрим ряд:
(2)
Ряд (2) – степенной ряд со степенями ,
– некоторое число. Ряд (2) сводится к ряду (1) заменой:
. Поэтому будем рассматривать только ряд (1). Выясним вопрос о сходимости ряда (1).
Теорема Абеля:
1.Если степенной ряд (1) сходится, при некотором значении , то абсолютно сходится при всяком значении x, для которого
;
2.Если степенной ряд (1) расходится, при некотором значении , то он расходится при всяком x удовлетворяющем неравенству
;
Поясним теоремы:
1.Если ряд (1) сходится в точке , то он абсолютно сходится в интервале (
;
) с центром в точке O;
2.Если ряд расходится в точке , то он расходится в интервалах
. Отметим это на числовой прямой:
Вывод: Область сходимости степенного ряда (1) является интервал конечный и бесконечный с центром в точке O или единственная точка O.
Положим , тогда интервал сходимости будет (-R,R). Число R называется радиусом сходимости степенного ряда, т. е. это такое число, что при всех
степенной сходится абсолютно, а при всех
расходится.
Узнать стоимость за 15 минут
Распродажа дипломных
Скидка 30% по промокоду Diplom2020
Подпишись на наш паблик в ВК
Нужна работа?
Контрольные работы у наших партнеров