Знакочередующиеся ряды — теорема лейбница

Лекция 7

Тема: Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Ряды с произвольными членами. Абсолютная и условная сходимость ряда. Теорема о связи между абсолютной сходимостью и сходимостью ряда.

7.1 Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.

Определение 1. Ряды вида , либо называются знакочередующимися рядами.

Примерами знакочередующихся рядов являются:

— знакочередующийся гармонический ряд,

— знакочередующийся ряд Дирихле.

Теорема 1. (Теорема Лейбница)

Пусть в знакочередующемся ряде члены ряда по модулю не возрастают, т. е:

Для того, чтобы знакочередующийся ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы предел общего члена равнялся нулю, т. е.

Доказательство. Рассмотрим для определенности ряд . Необходимость. Дано: Ряд сходится. Требуется доказать, что предел общего члена равен нулю.

Справедливость этого утверждения вытекает из необходимого признака сходимости ряда.

Достаточность. Дано: . Требуется доказать, что ряд сходится.

Сначала докажем сходимость последовательности частичных сумм с четными номерами

Имеем:

S2 ≤S4 ≤S6 ≤…. ≤S2n ≤…. ,

т. е. последовательность {S2n}∞ не убывает.

S2n запишем в следующем виде:

Последовательность {S2n} не убывающая и ограничена сверху, следовательно, она имеет предел:

Теперь рассмотрим последовательность частичных сумм ряда с нечётными номерами {S2n+1} и найдём предел этой последовательности.

, т. к. по условию. Отсюда следует, что . Теорема Лейбница справедлива для рядов т. к. данный ряд получается из ряда умножением на (-1), что не меняет сходимости ряда. Для ряда справедливо равенство: |S|<|a1|.

7.2. Оценка суммы знакочередующегося ряда

Если знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, то ряд сходится и его суммы удовлетворяет неравенству:

|S|<|1|.

Пример 1. Вычислить сумму ряда c точностью ε=0.01

Решение. Во-первых, докажем, что данный ряд сходится. В самом деле, ряд является знакочередующимся рядом, члены которого по модулю не возрастают и .

По теореме Лейбница данный ряд сходится к некоторому числу S

Ошибка, которая при этом допущена, равна . Rn называется остатком ряда. Остаток ряда Rn является знакочередующимся рядом, который удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Следовательно, | Rn| . Если < 0.01, то и | Rn|<0.01. n+1>100, n>99.

7.3 Ряды с произвольными членами. Абсолютная и условная сходимость ряда. Теорема о связи между абсолютной сходимостью и сходимостью ряда.

Определение 2. Ряд называется условно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей членов данного ряда, т. е. если сходится ряд .

Определение 3. Ряд называется абсолютно сходящимся, если данный ряд сходится, а ряд из модулей членов данного ряда расходится.

Например, ряд абсолютно сходится, а ряд — условно сходится.

Теорема 2. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов данного ряда , который будет знакоположительным рядом и к нему можно применить теорему сравнения. Имеем:

Так как ряд Дирихле сходится, то сходится ряд . Следовательно, данный ряд сходится абсолютно, а по теореме 2 можно утверждать, что он сходится.