Запись системы в симметрической форме
Запись системы в симметрической форме. Нахождение интегрируемых комбинаций.
Нахождение интегрируемых комбинаций
Этот метод интегрирования системы дифференциальных уравнений: (1)
состоит в следующем: с помощью проходящих арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) из уравнений системы (I) образуют так называемые интегрируемые комбинации, т. е. достаточно просто решаемые уравнения вида где — некоторая функция от искомой функции. Каждая интегрируемая комбинация дает один первый интеграл. Если найдено независимых первых интегралов системы (1), то ее интегрирование закончено; если же найдено независимых первых интегралов, где, то система (1) сводится к системе с меньшим числом неизвестных функций.
Симметрическая форма системы дифференциальных уравнений. Для нахождения интегрируемых комбинаций при решении системы дифференциальных уравнений (1) иногда бывает удобно записать ее в симметричной форме
(18)
В системе дифференциальных уравнений, записанной в симметрической форме, переменные равноправны, что в некоторых случаях упрощает нахождение интегрируемых комбинаций. Для решения системы (18) либо берут пары отношений, допускающие разделение переменных, либо же используют производные пропорции
(19)
где коэффициенты производные и их выбирают так, чтобы числитель был дифференциалом знаменателя, либо равен нулю.
Линейные неоднородные уравнения. Отыскание частного решения в случае уравнения с квазиполиномом.
Структура общего решения ЛНДУ 2-го порядка :
y’’ + (x) y’ +
(x) y = f (x) (5.1) — ЛНДУ
(x) ,
(x)
С (a, b) — непрерывная функция
y’’ + (x) y’ +
(x) y = 0 (5.2) — соответствующее однородное уравнение
Теорема (5.1) структура общего решения ЛНДУ
Общее решение yв уравнение (5.1) является сумма его произвольного частного решения и общего решения
=
y = (5.3)
Доказательство:
y = +
y’ = ( ) ‘ +
’
y’’ = ( ) ‘’ +
’’
y’’ = ( ) ‘’ +
’’ +
(x) (
)’
’ +
(x) (
+
) = f (x)’
( ) ‘’ +
(x) (
)’ +
(x) (
) +
+
(x) +
(x)
) +
(
’’ +
(x)
’ +
(x)
=f(x, y)
y= +
(5.4)
Для этого нужно доказать, что из решения (5.4) можно выделить единственную частное решениеудовлетворяющее начальным условиям
Дифференцируем (5.4) и подставляем условия (5.5)
y () =
y ‘(
) =
(5.5)
= W
0
!
,
Квазиполином Эйлера
В этих случаях записываем ожидаемую форму решения с неопределенными коэффициентами и подставляем в уравнение (5.1) y’’ +
(x) y’ +
(x) y = f (x)
Из получения тождестванаходим значения коэффициентов
Случай 1 : правая часть (5.7) y’’ + p y’ + q y = f(x) имеет вид :
f(x) = α
R
y’’ + p y’ + q y = (5.8)
В этом случае :
=
Qn (x)
(5.9)
Где n – число = кратности α как корня характеристического уравнения
При этом Qn (x) = x ‘’ +
+ …. + A ‘’ Ai (i= 0, 1, 2,…)
А) Пусть α – не является корнем характеристического уравнения :
+ p k + q = 0
α r = 0
= Q u (x) *
Б) Пусть α является 2-ух однократным корнем характеристического уравнения :
α = + p k + q = 0
r = 1
=
* Q n (x) *
В) Пусть α является 2-ух кратным корнем характеристического уравнения :
α = + p k + q = 0
r = 2
=
* Q n (x) *
Случай 2 :
Правая часть (2.7) или вид : f(x) =
(
) cosβx + Q m (x) sin β (x )
Где)и Qm (x) многочлен степени nиm соответствуют α и β действительного числа
Уравнение (5.7) y’’ + p y’ + q y = f(x) тогда запишется в виде
y’’ + py’ + qy = (
) cosβx + Qm (x) sinxβ ) (5.10)
=
*
* (Me (x) * cosβx + Ne (x) * sin βx ) (5.11)
r-число равное кратности (α + βi) как корня уравнения :
+ pk + q = 0
Многочлены степени е с неопределенным коэффициентом
Me (x)Ne (x)
е — max (n, m)
Замечание 1 :После подстановки функции из (5.11) в (5.10) приравниваем многочлен перед одноименной тригонометрической функциейв левой и правой частях уравнения
Замечание 2 : Формула (5.11) сохраняется и при )
0 или + Qm (x)
0
Замечание 3 : Если правая часть уравнения (5.7) y’’ + p y’ + q y = f(x) есть сумма вида 1 или 2 то для нахождения используется теорема (5.2) : о наложение решения
Если правая часть уравнения (5.1) представляет собой сумму 2-ух функций:
f(x) = (x) +
(x) ,
аu
— частное решение уравнения
+
(x) y ‘ +
(x) y =
(x)
+
(x) y ‘ +
(x) y =
(x)
То функция
Является решение данного уравнения
(
) ‘’ +
) ‘ +
) ‘=
‘’ +
+
+ (
) ‘’ +
) ‘ +
=
(x) +
(x) = f(x)
Типы точек покоя. Фокус, центр.
Корни характеристического уравнения
= P
q
0