Запись числа в дсс

Замечание: утвержд-е обратное Т.2. очевидно.

Напр-р: Сравним 237 и 258. 237=2•102+3•10+7 ; 258=2•102+5•10+8

а2=2, а1=3, а0=7 ; в2=2, в1=5, в0=8 ; а1< в1то 237<258

· Числа 1,10,102,…,10n наз-ют. разрядными ед-цами соответ-но 1-го, 2-го,…, n-го разряда. Причём, 10-ть ед-ц 1-го разряда составляют одну ед-цу след-щего высшего разряда, т. е. отнош-е соседнего разряда = 10 – это основание СС.

· Три первых разряда(1,2,3). в записи числа наз. первым классом или классом ед-ц(вход ед, дес, сотни). Три последующие (4,5,6) образуют второй класс – класс тысяч(вход ед тыс, дес тыс, сотни тысяч).Третий класс – класс млн (7,8,9) состоит из ед-ц млн, дес. млн, сотен млн. Следующие три разряда обр-ют новый класс и т. д. В десятич системе всем числам можно дать нахвание, имя. Названия чисел образ-ся по опред алгоритму:в нач дают наз-я числам 1го десятка, затем наз-ся число=основаниюсистемы(те10).Наз-ия чисел 2го 10ка обр-ся добавл-ем к назв-юсоответст числа 1го 10ка, видоизм-го наз-я десять-дцать. Далее аналогично образ-ся наз-я люб числа 10ков 1й сотни, кроме 40,90,100(составл-ся из слова «сто»). Для наимен чисел 2йтыс к наз-ю соотв 1й тыс добавл слово тысяча и тд. аналогично возник ситуац в кажд классе. Это особенность позиционной СС.

· Цифрой будем наз-ть однозначные числа.

В основе сложения многозн-х чисел лежат след-щие теор-ие полож-я:

1) запись числа в ДСС; 2) ассоц. и коммут. зак. слож.; 3) дистр. з. умнож-я относит-но слож-я; 4) таблица сложения.

Алгоритм сложения в общем виде: Пусть х, уЄN произвольные

1) Степени одинак-ые: х= аn•10n+аn-1•10n-1+…+а1•10+ а0 ; у= вn•10n+вn-1•10n-1+…+в1•10+ в0

0 < аi 9 , 0 < вj9 , аn≠0 , вn≠0 , j, i=0,1,…,n.

х+у=а/з, к/з, д/з=( аn+ вn)• 10n+( аn-1+ вn-1)•10n-1+…+( а1+в1)•10+ (а0+в0)

Первая часть этой формулы х+у явл-ся десятич-ой формой записи числа только в том случае, когда при всех k=0,n сумма каждого коэф-та д. б. 9 (аk+вk 9). В противном 2)случае, выберем наименьшее k, при к-ом аk+вk 10.

0 аk 9, 0 вk 9 то 0 аk+вk 18 то аk+вk=10+сk , 0 сk 9

х+у=( аn+ вn)• 10n+( аk+1+ вk+1)•10k+1+( аk+вk)•10k+…+( а1+в1)•10+ (а0+в0)

( аk+вk)•10k =(10+сk) •10k =д/з=10k+1+ сk•10k С учётом этого:

х+у=( аn+ вn)• 10n+…+( аk+1+ вk+1+1)•10k+1+сk •10k+…+( а1+в1)•10+ (а0+в0)

Среди коэф-тов аn+ вn, …, аk+1+ вk+1+1 выберем коэф-т больший 9 (двигаясь справа налево) и поступаем аналог-ым образом. Таких шагов будет не более n, в рез-те получим след-щую форму записи числа: х+у=10n+1+сn10n+сn-110n-1+…+с110+с0 0 сi 9 , i=0,n

Это и есть запись числа в ДСС.

В случае, когда в десятич-ой записи слагаемых разное кол-во цифр, надо приписать кол-во нулей к числу с наменьшим кол-вом цифр, уровняв кол-во цифр обоих слагаемых. После этого применить процесс, записанный выше.

Словесное описание алгоритма слож-я:

1.  Записать 2-ое слаг-ое под 1-ым так, чтобы соответ-щие разряды находились др. под др.

2.  Склад-ют цифры разряда ед-ц. Если сумма < 10 –записывают её в разряд ед-ц ответа и переходят к след-щему разряду.

3.  Если сумма » 10, то представляют её в виде а0+в0=10+с0 , с0 – одонзн. число, к-ое запис-ют в разряд ед-ц ответа и прибавляют ед-цу к цифре десятков первого слагаемого. После этого переходят к разряду десятков.

4.  Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и т. д. Процесс заканч-ся, когда оказ-ся сложеными цифры старших разрядов. При этом, если их сумма оказется »10, то припис-ют впереди обоих слагаемых нули, увеличивают нуль перед первым слагаемым на ед-цу и выполняют сложение 1+0=1

Вычитание многозн-х чисел основано на след-щих теор-х полож-ях:

1) запись числа в ДСС; 2) правила вычит-я и св-ва умнож-я;закон сложения и дистриб з-н умнож отн слож 3) табл. слож. однозн. чисел.

Алгоритм вычитания в общем виде: Пусть 0< аi 9 , 0< вj 9 , аn≠0 , вn≠0 , j, i=0,1,…,n.

х= аn•10n+аn-1•10n-1+…+а1•10+ а0 ; у= вn•10n+вn-1•10n-1+…+в1•10+ в0

х-у=пр. выч.=( аn- вn) •10n+(аn-1- вn-1)•10n-1+…+(а1- в1)•10+( а0- в0)

Может служить десятич-ой записью числа только в том случае, когда все разности вида

аk — вk 0, k=0,n.

Предположим, что аk — вk – отрицательное число, т. е. аk < вk. Тогда ищем в уменьшаемом разряде с ед-цей наименьший индекс m>k такой, что аm≠0, аm-1= аm-2=…= аk+1=0

х= аn•10n+…+ аm•10m+ аm-1•10m-1+…+ аk+1•10k+1+ аk•10k+…+ а1•10+ а0

у= вn•10n+…+ вm•10m+ вm-1•10m-1+…+ вk+1•10k+1+ вk•10k+…+ в1•10+ в0

Двигаемся справа налево, вычитая. Разложим: аm•10m=(аm-1)•10m+9•10m-1+…+9•10k+1+10•10k

х-у=(аn-вn)•10n+…+(аm-1-вm)•10m+(9-вm-1)•10m-1+…+(9-вk+1)•10k+1+…+(аk+10-вk)•10k+…+(а1-в1)•10+(а0-в0) По условию: аk < вk<10, т. е. аk — вk<0 то аk — вk+10<10 (по св-ву монот-ти +), т. е.

вm-1 9,…, вk+1 9то 9 9- вm-1 9,…,0 9- вk+1 9.

Далее среди коэф-тов аn-вn, …, аm-1-вm выберем отриц-ый коэф-т, двигаясь справа налево и рассужд-я повторяем до тех пор пока не появится запись: