Замена переменных в интегралах от функций комплексного переменного

. (14)

замена переменных в интегралах от функций комплексного переменного производится аналогично случаю функции действительного переменного. При замене контур на плоскости переходит в контур на плоскости :

. (15)

Задача 1. Вычислить интеграл ,

где Г − отрезок прямой от точки до точки .

Решение

Уравнение прямой в данном случае имеет простой вид . Взяв за параметр саму переменную , получают . При данных условиях переменная изменяется от до .

Подынтегральная функция имеет вид

.

после замены получают действительную часть функции и мнимую часть .

Подынтегральное выражение сводят к одной переменной , используя формулу (6):

=

=

=.

Задача 2. Вычислить интеграл по следующим кривым:

1) по отрезку AB: A , B ();

2) по верхней полуокружности , начало пути в точке ;

3) по окружности , начало пути в точке .

Решение

1) составляют уравнение прямой по формуле .

Подставляют значения координат .

Тогда или .

Уравнение прямой можно получить и координатным методом: угловой коэффициент или .

Далее преобразуют подынтегральное выражение:

,

.

Переменную интегрирования в каждом из криволинейных интегралов можно оставить свою, так как на заданной прямой и .

Координаты точек A , B () позволяют раскрыть модульные выражения: , .

==

.