Замена переменных в интегралах от функций комплексного переменного
. (14)
замена переменных в интегралах от функций комплексного переменного производится аналогично случаю функции действительного переменного. При замене контур
на плоскости
переходит в контур
на плоскости
:
. (15)
Задача 1. Вычислить интеграл ,
где Г − отрезок прямой от точки до точки
.
Решение
Уравнение прямой в данном случае имеет простой вид . Взяв за параметр саму переменную
, получают
. При данных условиях переменная
изменяется от
до
.
Подынтегральная функция имеет вид
.
после замены получают действительную часть функции
и мнимую часть
.
Подынтегральное выражение сводят к одной переменной , используя формулу (6):
=
=
=.
Задача 2. Вычислить интеграл по следующим кривым:
1) по отрезку AB: A , B (
);
2) по верхней полуокружности , начало пути в точке
;
3) по окружности , начало пути в точке
.
Решение
1) составляют уравнение прямой по формуле .
Подставляют значения координат .
Тогда или
.
Уравнение прямой можно получить и координатным методом: угловой коэффициент
или
.
Далее преобразуют подынтегральное выражение:
,
.
Переменную интегрирования в каждом из криволинейных интегралов можно оставить свою, так как на заданной прямой и
.
Координаты точек A , B (
) позволяют раскрыть модульные выражения:
,
.
=
=
.