Замена переменных в двойном интеграле

Замечание Интеграл взят методом интегрирования по частям, причем при подстановке нижнего предела использовался тот факт, что

Пример 2. Вычислить двойной интеграл , если область ограничена слева кривой, справа прямой и с боков прямыми , .

Решение. Область (рис.11) является простой (вида 2). При любом фиксированном из отрезка меняется от , до . Поэтому по формуле (3.8) имеем:

Замечание. Интеграл взят методом подстановки , тогда или . При изменении от 0 до t меняется от 0 до . Следовательно,

.

Пример 3. Вычисляется объем цилиндрического тела, ограниченного снизу областью , указанной на рис.12, и сверху – плоскостью .

Решение. Область интегрирования ограничена снизу кривой , сверху – кривой . Спроецировав на ось , получим отрезок . Следовательно, . По формуле (3.10) при имеем:

Пример 4. Вычислить массу пластинки, ограниченной прямой и параболой (рис.13), если плотность распределения массы выражается функцией.

Решение. Область интегрирования ограничена снизу кривой , сверху – кривой , спроецировав, на ось , получим отрезок . Следовательно, . По формуле (3.11) при

имеем:

.2 Замена переменных в двойном интеграле

При вычислении двойных интегралов иногда бывает полезно сделать замену переменных. Пусть

(3.13)

функции, определенные на всей плоскости или в некоторой ее области и имеющие непрерывные частные производные в области . Допустим также, что систему уравнений (3.13) можно однозначно разрешить относительно и :