Замена базиса и преобразование координат

Легко показать, что справедливо следующее предложение:

Предложение: Координаты любого вектора в данном базисе конечномерного векторного пространства определяются однозначно.

Доказательство: Допустим, что некоторый вектор х пространства имеет 2 разложения по базисным векторам :

. Т. е. разложение единственно. ▲.

Замена базиса и преобразование координат

Пусть — п-мерное векторное пространство над полем Р и и — 2 базиса . Выразим каждый вектор (2) через вектора (1):

Матрица

Выразим (1) через (2):

Матрица

Как связаны между собой матрицы А и В? Чтобы установить это, подставим в (4) выражения из (3):

то есть , значит матрицы перехода от базиса (1) к базису (2) и от базиса (2) к базису (1) — это взаимно обратные матрицы.

Выясним, как изменяются координаты векторов при изменении базиса.

Пусть вектор х имеет в базисах (1) и (2) координаты и , т. е. , , тогда

Итак,

Теорема 3. Координаты суммы векторов в данном базисе равны сумме соответствующих координат самих векторов в этом базисе.

Доказательство: Пусть даны два вектора — х и у и в базисе их координаты , тогда .

Значит ,

т. е. координаты суммы векторов равны ▲.

Замечание: теорему можно расширить на любое число слагаемых векторов.

Теорема 4. Координаты произведения вектора на элемент λ поля Р в данном базисе равны произведению соответствующих координат вектора в этом базисе на элемент λ.

Доказательство: Пусть дан вектор х, имеющий в базисе координаты и дан , тогда . Найдем координаты произведения вектора х на элемент : ,

т. е. координаты произведения вектора х на элемент равны ▲.

ВОПРОС № 6 Евклидовы пространства. Ортонормированные базисы.

Опр.1. Пусть E — векторное пространство над полем действительных чисел . Скалярным умножением в пространстве E называется отображение, ставящее в соответствие каждой паре векторов E действительное число, называемое скалярным произведением этих векторов и обозначаемое символом так, что выполняются следующие условия:

1. E .

2. E .

3. E .

4. E, .