Замена базиса и преобразование координат
Легко показать, что справедливо следующее предложение:
Предложение: Координаты любого вектора в данном базисе конечномерного векторного пространства определяются однозначно.
Доказательство: Допустим, что некоторый вектор х пространства имеет 2 разложения по базисным векторам
:
. Т. е. разложение единственно. ▲.
Замена базиса и преобразование координат
Пусть — п-мерное векторное пространство над полем Р и
и
— 2 базиса
. Выразим каждый вектор (2) через вектора (1):
Матрица
Выразим (1) через (2):
Матрица
Как связаны между собой матрицы А и В? Чтобы установить это, подставим в (4) выражения из (3):
то есть , значит матрицы перехода от базиса (1) к базису (2) и от базиса (2) к базису (1) — это взаимно обратные матрицы.
Выясним, как изменяются координаты векторов при изменении базиса.
Пусть вектор х имеет в базисах (1) и (2) координаты и
, т. е.
,
, тогда
Итак,
Теорема 3. Координаты суммы векторов в данном базисе равны сумме соответствующих координат самих векторов в этом базисе.
Доказательство: Пусть даны два вектора — х и у и в базисе их координаты
, тогда
.
Значит ,
т. е. координаты суммы векторов равны
▲.
Замечание: теорему можно расширить на любое число слагаемых векторов.
Теорема 4. Координаты произведения вектора на элемент λ поля Р в данном базисе равны произведению соответствующих координат вектора в этом базисе на элемент λ.
Доказательство: Пусть дан вектор х, имеющий в базисе координаты
и дан
, тогда
. Найдем координаты произведения вектора х на элемент
:
,
т. е. координаты произведения вектора х на элемент равны
▲.
ВОПРОС № 6 Евклидовы пространства. Ортонормированные базисы.
Опр.1. Пусть E — векторное пространство над полем действительных чисел . Скалярным умножением в пространстве E называется отображение, ставящее в соответствие каждой паре векторов
E действительное число, называемое скалярным произведением этих векторов и обозначаемое символом
так, что выполняются следующие условия:
1. E
.
2. E
.
3. E
.
4. E,
.