Законы распределения случайных величин

17.ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СВ.

Закон распределения СВ – это перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей.

Законы распределения ДСВ:

1)закон распределения Бернулли,

2)биномиальный ЗР,

3)ЗР Пуассона,

4)геометрический ЗР,

5)геометрический ЗР, сдвинутый на единицу,

6)гипергеометрический ЗР.

Для НСВ:

1)  равномерный ЗР,

2)  показательное распределение,

3)  нормальный ЗР.

18.ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА.

Функция F (х)=Р (Х<х) называется интегральной функцией распределения.

Свойства интегральной функции распределения:
1) F (х) не убывает (если х2>х1, то F (x2)≥F (х1)).

2) F (-∞)=0.

3) F (+∞)=1.

4) Вероятность попадания СВХ в интервал а<Х<b:

Р (а≤Х<b)=F(b)-F(a).

Дифференциальной функциейСВХ называется производная ее функции распределения:

f(х)=F ‘ (х).

Свойства дифференциальной функции:

1)  f (х)≥0.

2) 

3)  F (х) =

19.ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НСВ И ЕЕ СВОЙСТВА.

Плотностью распределения вероятностей НСВ Х называется такая функция р (х)≥0, что F (х)=

Свойства плотности:
1) р (х)≥0,

2)

3) p (х) = f ’(х)

4) р (а≤х≤в) =

20.МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ СВ.

Математическое ожидание М (Х) ДСВ Х – это сумма парных произведений СВ на соответствующую вероятность:
М (х)=х1р1+х2р2+…+хnрn.

Свойства математического ожидания:

1)  М (С) = С

2)  М (СХ) = С*М (Х)

3)  Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Дисперсией ДСВ Х называется математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания:

D(X)=M((x-M(X))2)

Свойства дисперсии:

1)  D(C)=0

2)  D(CX)=C2D(X)

3)  D(X)=M(X)2-(M(X))2

4)  D(C+Х)=D(X)

Математическое ожидание для НСВ:

МХ=

Дисперсия для НСВ:

DX=

Все свойства дисперсии и математического ожидания, установленные для ДСВ, сохраняются для НСВ.

21.МОДА И МЕДИАНА.

Мода Мо(Х) распределения – это значение СВ, имеющее наиболее вероятное значение.
Для НСВ (Мо(Х)) это точка локального максимума плотности.

Если мода единственна, то распределение СВ называется унимодальным, в противном случае полимодальным.

Медиана Ме(Х) – это значение случайной величины, которое делит таблицу распределения на две части таким образом, что вероятность попадания в одну из них равна 0,5. Медиана обычно не определяется для ДСВ.

22.МОМЕНТЫ СВ.

Начальным моментом порядка sназывается математическое ожидание степени sСВХ:

αs = М(Хs)
Для ДСВ:

αs = хs1р1+ хs1р2+…+ хs1рn

Для НСВ:

αs =

Отклонение СВ от ее математического ожидания называется центрированной СВ Х: Х=Х-mx

Центральным моментом порядка sСВ Х называется математическое ожидание степени s, соответствующей центрированной СВ:

μs= μ(Xs)=M((x-mx)s)

Для ДСВ:

μs=

Для НСВ:

μs=

Основным моментом порядка sназывается нормированный центральный момент порядка S:

rs = μs/ Ϭs

23.АСИММЕТРИЯ И ЭКСЦЕСС.

Асимметрией (характеризует скошенность плотности распределения) называется число, обозначаемое А, равное:
А= μ3 / Ϭ3

Эксцессом (характеризует островершинность распределения) называется число, обозначаемое Е:

Е= μ4 / Ϭ4-3

24.ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Пусть имеется НСВ Х с функцией плотности вероятности f(x). Другая СВY связана со СВ Х функциональной зависимостью: Y=φ(Х). Случайная точка (Х, Y) может находиться только на кривой у=φ(х).

Дифференциальная функция СВY определяется при условии, что φ(х) – монотонна на интервале (a, b), тогда для функции φ(х) существует обратная функция:

φ-1=ψ, х= ψ(у).

Математическое ожидание и дисперсия СВ Х(Y=φ(Х)), имеющей дифференциальную функцию f(х):
M(Y)=

D(Y)=

25.БИНОМИАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПЕРЕДЕЛЕНИЯ.

Пусть х – ДСВ равна числу появлений события в n-независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p.

Биномиальным называют закон распределения ДСВ Х, если вероятность возможного значения х=k вычисляется по формуле Бернулли:

Рn(k)=Сkn * рk * qn-k.

MX=np

DX=npq

26.ЗАКОН ПУАССОНА.

Если n достаточно велико, а p очень мало, то используют приближенную формулу для вычисления вероятности:

Рn(m) = λm* е-λ / m!

Где λ=np.
В таком случае говорят, что задан закон Пуассона с параметром λ.

MX=λ

DX=λ

27.ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ И ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.

ДСВ имеет геометрическое распределение, если она принимает значения k=1,2,3,… с вероятностями рk=p*qk-1

MX=1/p

DX=q/p2

ДСВ имеет гипергеометрическое распределение, если она принимает значения mc вероятностями:

Р(m)=P(X=m)=CmM*Cn-mN-M/CnN

Вероятность Р(m) является вероятностью выбора m-объектов, обладающих заданным свойством из n-объектов, случайно извлеченных из совокупности N-объектов, среди которых M-объекты обладают заданными свойствами.

MX=n*M/N

DX=n*(M/N-1)*(1-M/N)*(1-n/N)

28.РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.

Говорят, что НСВ Х распределена равномерно на отрезке (a, b), если ее плотность р(х) постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его.

Р(х)=

F(x)=

MX=(a+b)/2

DX=(b-a)2/12

29.ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.

Говорят, что НСВ Х имеет показательное распределение с параметром λ, если ее плотность вероятности имеет следующий вид:

F(х)=

F(х)=

MX=1/x

DX=1/x2

30.НОРМАЛЬНЫЙЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

НСВ Х имеет нормальное распределение (Гаусса) с параметрами а и Ϭ, если ее плотность вероятности имеет вид:

Р(Х)=1/*Ϭ)*e^-(x-a)2/2Ϭ2

Множество СВ нормально распределенных с параметрами а и Ϭ обозначается N (а,Ϭ).

F(x)= 1/*Ϭ)

MX=a

DX=Ϭ2

31.ФУНКЦИЯ ЛАПЛАСА.

Вероятность того, что из n-независимых испытаний в каждом из которых вероятность появления события равна р(0<р<1), событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, равна:
Рn (k1, k2)=Ф(х2)-Ф(х1), где Ф(х) – функция Лапласа,

х1=k1—np / ; х2=k2—np /