Учебные материалы по математике | Законы распределения случайных величин | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Законы распределения случайных величин


17.ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СВ.

Закон распределения СВ – это перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей.

Законы распределения ДСВ:

1)закон распределения Бернулли,

2)биномиальный ЗР,

3)ЗР Пуассона,

4)геометрический ЗР,

5)геометрический ЗР, сдвинутый на единицу,

6)гипергеометрический ЗР.

Для НСВ:

1)  равномерный ЗР,

2)  показательное распределение,

3)  нормальный ЗР.

18.ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА.

Функция F (х)=Р (Х<х) называется интегральной функцией распределения.

Свойства интегральной функции распределения:
1) F (х) не убывает (если х2>х1, то F (x2)≥F (х1)).

2) F (-∞)=0.

3) F (+∞)=1.

4) Вероятность попадания СВХ в интервал а<Х<b:

Р (а≤Х<b)=F(b)-F(a).

Дифференциальной функциейСВХ называется производная ее функции распределения:

f(х)=F ‘ (х).

Свойства дифференциальной функции:

1)  f (х)≥0.

2) 

3)  F (х) =

19.ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НСВ И ЕЕ СВОЙСТВА.

Плотностью распределения вероятностей НСВ Х называется такая функция р (х)≥0, что F (х)=

Свойства плотности:
1) р (х)≥0,

2)

3) p (х) = f ’(х)

4) р (а≤х≤в) =

20.МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ СВ.

Математическое ожидание М (Х) ДСВ Х – это сумма парных произведений СВ на соответствующую вероятность:
М (х)=х1р1+х2р2+…+хnрn.

Свойства математического ожидания:

1)  М (С) = С

2)  М (СХ) = С*М (Х)

3)  Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Дисперсией ДСВ Х называется математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания:

D(X)=M((x-M(X))2)

Свойства дисперсии:

1)  D(C)=0

2)  D(CX)=C2D(X)

3)  D(X)=M(X)2-(M(X))2

4)  D(C+Х)=D(X)

Математическое ожидание для НСВ:

МХ=

Дисперсия для НСВ:

DX=

Все свойства дисперсии и математического ожидания, установленные для ДСВ, сохраняются для НСВ.

21.МОДА И МЕДИАНА.

Мода Мо(Х) распределения – это значение СВ, имеющее наиболее вероятное значение.
Для НСВ (Мо(Х)) это точка локального максимума плотности.

Если мода единственна, то распределение СВ называется унимодальным, в противном случае полимодальным.

Медиана Ме(Х) – это значение случайной величины, которое делит таблицу распределения на две части таким образом, что вероятность попадания в одну из них равна 0,5. Медиана обычно не определяется для ДСВ.

22.МОМЕНТЫ СВ.

Начальным моментом порядка sназывается математическое ожидание степени sСВХ:

αs = М(Хs)
Для ДСВ:

αs = хs1р1+ хs1р2+…+ хs1рn

Для НСВ:

αs =

Отклонение СВ от ее математического ожидания называется центрированной СВ Х: Х=Х-mx

Центральным моментом порядка sСВ Х называется математическое ожидание степени s, соответствующей центрированной СВ:

μs= μ(Xs)=M((x-mx)s)

Для ДСВ:

μs=

Для НСВ:

μs=

Основным моментом порядка sназывается нормированный центральный момент порядка S:

rs = μs/ Ϭs

23.АСИММЕТРИЯ И ЭКСЦЕСС.

Асимметрией (характеризует скошенность плотности распределения) называется число, обозначаемое А, равное:
А= μ3 / Ϭ3

Эксцессом (характеризует островершинность распределения) называется число, обозначаемое Е:

Е= μ4 / Ϭ4-3

24.ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Пусть имеется НСВ Х с функцией плотности вероятности f(x). Другая СВY связана со СВ Х функциональной зависимостью: Y=φ(Х). Случайная точка (Х, Y) может находиться только на кривой у=φ(х).

Дифференциальная функция СВY определяется при условии, что φ(х) – монотонна на интервале (a, b), тогда для функции φ(х) существует обратная функция:

φ-1=ψ, х= ψ(у).

Математическое ожидание и дисперсия СВ Х(Y=φ(Х)), имеющей дифференциальную функцию f(х):
M(Y)=

D(Y)=

25.БИНОМИАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПЕРЕДЕЛЕНИЯ.

Пусть х – ДСВ равна числу появлений события в n-независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p.

Биномиальным называют закон распределения ДСВ Х, если вероятность возможного значения х=k вычисляется по формуле Бернулли:

Рn(k)=Сkn * рk * qn-k.

MX=np

DX=npq

26.ЗАКОН ПУАССОНА.

Если n достаточно велико, а p очень мало, то используют приближенную формулу для вычисления вероятности:

Рn(m) = λm* е-λ / m!

Где λ=np.
В таком случае говорят, что задан закон Пуассона с параметром λ.

MX=λ

DX=λ

27.ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ И ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.

ДСВ имеет геометрическое распределение, если она принимает значения k=1,2,3,… с вероятностями рk=p*qk-1

MX=1/p

DX=q/p2

ДСВ имеет гипергеометрическое распределение, если она принимает значения mc вероятностями:

Р(m)=P(X=m)=CmM*Cn-mN-M/CnN

Вероятность Р(m) является вероятностью выбора m-объектов, обладающих заданным свойством из n-объектов, случайно извлеченных из совокупности N-объектов, среди которых M-объекты обладают заданными свойствами.

MX=n*M/N

DX=n*(M/N-1)*(1-M/N)*(1-n/N)

28.РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.

Говорят, что НСВ Х распределена равномерно на отрезке (a, b), если ее плотность р(х) постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его.

Р(х)=

F(x)=

MX=(a+b)/2

DX=(b-a)2/12

29.ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.

Говорят, что НСВ Х имеет показательное распределение с параметром λ, если ее плотность вероятности имеет следующий вид:

F(х)=

F(х)=

MX=1/x

DX=1/x2

30.НОРМАЛЬНЫЙЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

НСВ Х имеет нормальное распределение (Гаусса) с параметрами а и Ϭ, если ее плотность вероятности имеет вид:

Р(Х)=1/*Ϭ)*e^-(x-a)2/2Ϭ2

Множество СВ нормально распределенных с параметрами а и Ϭ обозначается N (а,Ϭ).

F(x)= 1/*Ϭ)

MX=a

DX=Ϭ2

31.ФУНКЦИЯ ЛАПЛАСА.

Вероятность того, что из n-независимых испытаний в каждом из которых вероятность появления события равна р(0<р<1), событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, равна:
Рn (k1, k2)=Ф(х2)-Ф(х1), где Ф(х) – функция Лапласа,

х1=k1np / ; х2=k2np /

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод