Учебные материалы по математике | Задачи по теории игр | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Задачи по теории игр


Если оперирующая сторона выбирает первую стратегию, то вторая фирма выбирает стратегию "4", дающую выигрыш равный 4. В этом случае выигрыш ОС будет равен также 4. Если же ОС выбирает вторую стратегию, то вторая фирма, максимизируя свой выигрыш, выберет первую. Выигрыш ОС в этом случае будет равен 5. Пусть, наконец, ОС выберет третью стратегию, тогда вторая фирма вновь выберет первую. Выигрыш ОС будет равен 5. Итак, получены следующие оценки стратегий первой фирмы: W(1)=4, W(2)=5, W(3)=5, следовательно, ОС может выбирать либо вторую, либо третью стратегию.

Задача 5.

Решим задачу из примера 5 раздела 2.2.2 в случае, когда вероятности величин спроса на булочки неизвестны. В этом случае спрос является неопределенным фактором. Для решения воспользуемся полученной в примере таблицей значений целевой функции. Напомним, что ОС стремится максимизировать целевую функцию F(x, z).

Для оценки эффективности стратегии по критерию наилучшего гарантированного результата необходимо воспользоваться формулой (3). В соответствии с этой формулой получим следующие оценки:

W1(x1)=min{2400; 2400; 2400; 2400; 2400}=2400;

W1(x2)=min{1900; 3600; 3600; 3600; 3600}=1900;

W1(x3)=min{1400; 3100; 4800; 4800; 4800}=1400;

W1(x4)=min{900; 2600; 4300; 6000; 6000}=900;

W1(x5)=min{400; 2100; 3800; 5500; 7200}=400.

Наибольшее значение оценка принимает при x= x1, следовательно, по рассматриваемому критерию необходимо закупать 100 булочек.

По критерию Лапласа в соответствии с формулой (4) получаем следующие оценки

W2(x1)=(2400+2400+2400+2400+2400)´1/5=2400;

W2(x2)=(1900+3600+3600+3600+3600)´1/5=3260;

W2(x3)=(1400+3100+4800+4800+4800)´1/5=3780;

W2(x4)=(900+2600+4300+6000+6000)´1/5=3960;

W2(x5)=(400+2100+3800+5500+7200)´1/5=3800.

Наибольшее значение критерия достигается при x=x4. По критерию Лапласа нужно закупать 250 булочек.

Для определения количества закупаемых булочек по критерию Сэвиджа, вычислим функцию сожаления по формуле (5), так как задача на максимум целевой функции. Запишем функцию сожаления в виде таблицы.

Таблица значений функции сожаления j(x,z)

Значения z

x

z=100

z=150

z=200

z=250

z=300

100

0

1200

2400

3600

4800

150

500

0

1200

2400

3600

200

1000

500

0

1200

2400

250

1500

1000

500

0

1200

300

2000

1500

1000

500

0

Здесь: j(100; 100)=F(; 100) – F(100; 100)=

=max{2400; 1900; 1400; 900; 400} – 2400= 2400 – 2400=0;

j(150; 100)= max{2400; 1900; 1400; 900; 400} – 1900=500;

и т. д. В каждом столбце находим максимальный элемент, затем значение функции сожаления в этом столбце равно разности максимального элемента столбца и соответствующего значения целевой функции. Далее по критерию наилучшего гарантированного результата для задачи минимизации функции сожаления получаем оценки:

W3(x1)=max{0; 1200; 2400; 3600; 4800}=4800;

W3(x2)=max{500; 0; 1200; 2400; 3600}=3600;

W3(x3)=max{1000; 500; 0; 1200; 2400}=2400;

W3(x4)=max{1500; 1000; 500; 0; 1200}=1500;

W3(x5)=max{2000; 1500; 1000; 500; 0}=2000.

Минимальное значение критерия достигается при x = x4, следовательно, по критерию Сэвиджа нужно закупать 250 булочек.

Найдем лучшую стратегию по критерию Гурвица при a=0.2. Сначала необходимо получить оценки по критерию крайнего оптимизма (формула(9)):

W4(x1)=max{2400; 2400; 2400; 2400; 2400}=2400;

W4(x2)=max{1900; 3600; 3600; 3600; 3600}=3600;

W4(x3)=max{1400; 3100; 4800; 4800; 4800}=4800;

W4(x4)=max{900; 2600; 4300; 6000; 6000)=6000;

W4(x5)=max{400; 2100; 3800; 5500; 7200}=7200.

Затем по формуле (10) рассчитаем критерий Гурвица:

W5(x1)=0.2´2400 + (1 — 0.2)´2400=2400;

W5(x2)=0.2´3600 + (1 — 0.2)´1900=2240;

W5(x3)=0.2´4800 + (1 — 0.2)´1400=2080;

W5(x4)=0.2´6000 + (1 — 0.2)´900=1920;

W5(x5)=0.2´7200 + (1 — 0.2)´400=1760.

По критерию Гурвица при заданном значении a=0.2 лучшей будет стратегия x1 – закупать 100 булочек.

4. Задачи для самостоятельного решения

4.1. В новом микрорайоне требуется построить сеть теплопунктов. Имеется четыре проекта строительства. Затраты по строительству, эксплуатации и модернизации сети в зависимости от пяти вариантов развития микрорайона заданы в таблице.

8

9

11

12

14

9

8

10

13

16

12

10

9

11

13

14

12

10

9

6

Найти проект с наименьшими затратами по четырем критериям в условиях неопределенности (в критерии Гурвица положить a=2/5).

4.2. Открывающийся магазин может иметь одну из четырех специализаций. Доходы магазина в зависимости от пяти возможных вариантов рыночной конъюнктуры заданы в таблице.

10

14

13

15

20

12

11

14

13

15

7

15

16

17

15

21

19

8

7

9

Определить специализацию, при которой магазин будет иметь наибольшие доходы (в критерии Гурвица положить a=3/5).

4.3. Водопроводная сеть в новом микрорайоне может быть построена по одному из четырех проектов. Расходы по обслуживанию и модернизации водопровода в зависимости от пяти возможных вариантов развития микрорайона приведены в таблице.

18

20

22

24

26

20

18

20

26

28

22

20

18

22

26

24

22

20

18

16

Найти проект с наименьшими расходами в условиях неопределенности по четырем критериям (в критерии Гурвица положить a=3/7).

4.4. Сеть магазинов фирмы может быть построена по одному из трех проектов. Расходы по строительству и стоимости земли в зависимости от утверждения одного из пяти возможных вариантов развития города приведены в таблице.

12

2

4

6

10

8

10

16

12

8

10

6

4

6

12

Найти проект с наименьшими расходами в условиях неопределенности по четырем критериям (в критерии Гурвица положить a=1/3).

4.5. Спрос на товары фирмы при трех возможных стратегиях маркетинга может принимать одно из пяти значений в зависимости от общего состояния рынка. Прибыль в зависимости от возможной стратегии и спроса приведена в таблице.

26

20

10

-16

28

12

14

24

30

-13

14

-29

20

12

0

Найти проект с наибольшей прибылью в условиях неопределенности по четырем критериям (в критерии Гурвица положить a=4/7).

4.6. Сеть АЗС может быть построена по одному из четырех проектов. Расходы по строительству и закупке земляных участков в зависимости от пяти возможных вариантов земельного законодательства приведены в таблице.

14

15

17

18

20

15

14

16

20

22

18

16

15

18

18

20

18

16

15

12

Найти проект с наименьшими расходами в условиях неопределенности по четырем критериям (в критерии Гурвица положить a=4/9).

4.7. Прибыль от реализации одного изделия фирмы составляет 20ден. ед., а стоимость его производства – 15ден. ед. Изделие выпускается партиями по 20 шт. Спрос на это изделие в течение недели может принимать одно из следующих значений: 100; 120; 140: 160. На основе статистических данных было установлено, что вероятности этих значений равны 0.2; 0.3; 0.3; 0.2 соответственно.

Составить математическую модель и определить, сколько нужно изготавливать изделий по двум критериям в условиях риска (k=1).

4.8. Спрос на изделие принимает одно из следующих значений: 20; 30; 40; 50. Расходы по изготовлению одного изделия составляют 5ден. ед. Штраф за нехватку каждого изделия составляет 6 д. е.

Составить математическую модель и найти количество выпускаемых изделий, при котором расходы будут минимальны по четырем критериям в условиях неопределенности (a=3/5).

4.9. Решить задачу 4.1. в условиях риска, если специалисты районной администрации оценивают вероятности пяти вариантов развития микрорайона следующим образом: 0.1; 0.2; 0.4; 0.2; 0.1. Принять, что коэффициент не склонности к риску k = 0.8.

4.10. Решить задачу 4.2. в условиях риска, если руководство магазина приписывает пяти вариантам конъюнктуры следующие вероятности: 0.2; 0.3; 0.1; 0.3; 0.1. Принять, что коэффициент не склонности к риску k = 0.6.

4.11. Решить задачу 4.3. в условиях риска, если специалисты оценивают вероятности пяти вариантов развития микрорайона следующим образом: 0.4; 0.1; 0.2; 0.2; 0.1. Принять, что коэффициент не склонности к риску k = 0.7.

4.12. Автомат производит a (тысяч) единиц некоторого продукта ежедневно. Если a увеличивается, доля брака р возрастает. Плотность распределения случайной величины р в зависимости от значения a задается функцией

f(p)=(+1) , 0p1, f(p)=0, p.

Каждое бракованное изделие приносит убыток в 50 ден. ед. Годное изделие дает прибыль в 5 ден. ед. Определите a, при котором ожидаемая прибыль максимальна.

4.13. Спрос на некоторое изделие описывается следующим распределением:

x

0

1

2

3

4

5

p(x)

0.1

0.15

0.4

0.15

0.1

0.1

Определите уровень запасов, при котором:

1)вероятность полного истощения запасов не превышает 0.45; 2)средние значения дефицита и превышения запасов не должны быть больше 1 и 2 единиц соответственно.

4.14. Один из N станков должен быть выбран для изготовления партии изделий, размер которой Q может принимать любое значение между Q* и Q**, где Q*<Q**. Производственные затраты Zi для станка i задаются формулой

Zi=Кi+ciQ,

Пусть N=4, Q* = l тыс.; Q**=10 тыс.; ,: (Ki, ci), i=l,…,4 равны соответственно: (1; 1).(2; 0.7), (4; 0.4), (5: 0.2).Определить станок для производства партии деталей с тем, чтобы затраты были минимальны.

4.15. Продавец берется продать k газет, причем за каждую проданную газету получает прибыль, равную а. Непроданные газеты он возвращает, но при этом терпит убыток, равный b, на каждой непроданной газете. Спрос на газеты принимает одно из значений на отрезке [n, m]. Цель продавца – выбрать величину k таким образом, чтобы получить максимальную прибыль. Составить модель операции. При условии, что спрос y является неопределенным фактором найти оценку эффективности произвольной стратегии по критериям Вальда и Лапласа.

4.16. Два предприятия производят один вид продукции и определяют на нее цену: при этом первое предприятие не знает предполагаемого выпуска и цены на продукцию второго. Пусть D – потребность рынка к продукции, а u и v – количество продукции, производимой соответственно первым и вторым предприятием, причем u, v К, где величина К задает ограничения на производственные мощности обоих предприятий. Пусть р и q – цены единицы продукции, назначаемые первым и вторым предприятиями, р, q, где — себестоимость единицы продукции, а b — заданное ограничение на цену. Предполагается, что вначале покупается более дешевая продукция, а при равенстве цен покупается продукция второго предприятия. Будем считать первое предприятие ОС. Цель ОС состоит в получении как можно большей валовой прибыли от продажи произведенной продукции. Составить модель операции при условии:

1) цель второго предприятия неизвестна;

2) цель второго предприятия известна и задается критерием, аналогичным критерию первого; кроме того, второму предприятию известна стратегия первого предприятия.

Для первого случая найти наилучшую стратегию по критерию наилучшего гарантированного результата.

4.17. Предприятие производит продукцию в течение Т отрезков времени. В начале отрезка t предприятие производит продукцию в количестве x(t). Спрос y(t) на продукцию в начале отрезка t неизвестен, но известно, что d(t)y(t) D(t), где d(t), D(t) – фиксированные границы спроса. Предположим, что спрос у(t) на продукцию удовлетворяется в начале отрезка t, а вся произведенная нереализованная (в том числе и в предшествующие моменты времени) продукция хранится на складе в течение всего отрезка времени t. Пусть a -себестоимость единицы произведенной продукции; h — стоимость хранения единицы продукции в течение одного отрезка времени; p — плата за единицу недоданной продукции в течение одного отрезка времени; z(0) – начальный запас продукции на складе. Цель предприятия состоит в таком выпуске x(t), t=1,…,T, чтобы суммарные издержки были минимальными. Составить модель операции. Оценить эффективность стратегий ОС при p=0.

4.18. В задаче 4 пункта 3 определить, какая из следующих позиционных стратегий, x(1)=(2; 1; 3; 1; 2; 1), x(2)=(1; 2; 1; 2; 3; 1) будет лучшей по критерию наилучшего гарантированного результата. Определение соответствующих позиционных стратегий смотри в задаче 3 пункта 3.

4.19. Пусть в задаче 4.9 можно заказать прогноз развития микрорайона фирме, специализирующейся на прогнозах. Про качество прогнозов этой фирмы известно следующее. Если прогнозируется какой-либо вариант развития, то он реализуется с вероятностью 0.8, а остальные варианты с равными вероятностями по 0.05. Нужно определить: 1) оптимальную стратегию в случае, когда прогноз заказывается и когда не заказывается; 2) ожидаемую ценность прогноза; 3) следует ли заказывать прогноз.

4.20. Пусть в задаче 4.7 можно заказать исследование рынка в некоторой фирме А. Про фирму А известно, что если фирма прогнозирует спрос в некотором объеме d, то он реализуется с вероятностью 0.73, а остальные величины спроса с примерно равной вероятностью. Нужно определить: 1) оптимальную стратегию в случае, когда прогноз заказывается и когда не заказывается; 2) ожидаемую ценность прогноза; 3) следует ли заказывать прогноз.

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод