Задачи для подготовки к гэк по алгебре и теории чисел

Задачи для подготовки к ГЭК по алгебре и теории чисел

2012-2013 учебный год

(специальность «ПМИ»)

Комплексные числа

Вычислить: (2+3i)(4–5i) + (2–3i)(4+5i). Найти х и у, считая их действительными числами: (1+2i)x + (3–5i)y = 1–3i Вычислить, пользуясь формулой Муавра:. Извлечь все корни: 1) . 2). 3). 4). Выполнить действия: .

Теория делимости

Вычислить НОД(588, 2058, 2849) двумя способами. Вычислить НОД(99, 162) двумя способами. Построить графики функций:

а) y=j (x), б) y=t(x), в) y= s(x), где x Î N.

14. Вычислить j (x),t(x), s(x), где x=588, x= 2058 .

Системы линейных уравнений

Решить систему линейных уравнений методом последовательного исключения переменных:
1) 2)
3) 4)
5) 6) . Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы и методом Крамера

1) 2)

Линейные системы векторов. Векторные пространства.

11.  Исследовать, является ли линейно зависимой система векторов :
1) =(1, 2, 1), 2) =(1,–2,–1),
=(1, 1,–1), =(–1, 1,–1),
=(–1,–3,–3). =(–1,–3,–3).

12.  Исследовать, является ли линейно зависимой система векторов , векторного пространства многочленов от одной переменной степени £ 2 над полем R, если
=f1(x)=3+x+2×2, =f2(x)=–2+x–x2.

Доказать, что в вещественном пространстве квадратных матрицах второго порядка первый из трех векторов , , не выражается линейно через остальные. Подпространство V0 натянуто на систему векторов , где
=(1, 2, 1), =(1, 1,–1), =(1, 3, 3). Найти базис и размерность V0. Найти размерность и базис линейных подпространств, натянутых на следующие системы векторов:

1) =(1,0,0,-1), =(2,1,1,0), =(1,1,1,1), =(1,2,3,4), ,

2) =(1,1,1,-1,0), =(1,1,-1,-1,-1), =(2,2,0,0,-1), =(1,1,5,5,2), .

Вычислить ранг матрицы ; .

17.  Найти один из базисов данной системы векторов и выразите остальные векторы системы через базисные, если =(1, 2, 1),=(1, 1,–1),=(–1,–3,–3),=(–1,–3,–3).

18.  Векторы заданы своими координатами в некотором базисе. Показать, что векторы сами образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе: =(1, 1, 1),=(1, 1,2),=( 1, 2, 3), =( 6,9,14).

19.  Найти базис и размерность векторного пространства V над полем R, состоящего из всех матриц вида , где a, b, c, dÎR.

Матрицы и определители

Умножить матрицы: , Найти , если А= . Решить матричное уравнение: 1)×X = 2) Вычислить: 1) , 2) Вычислить определитель матрицы, разложив по строке или столбцу: ,

Полиномы от одной переменной. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух полиномов

Разложить многочлен f(x)=x12–2×6+1 на неприводимые множители над полем действительных и комплексных чисел. Найти остаток от деления f на g, пользуясь схемой Горнера: f=x4–2×3+4×2–6x+8, g=x–1. Найти НОД и НОК: f1=x3+2×2+3x +2, f2=x4+x3+x2–x–2, f3=x3–x2–4. Найти НОД многочленов f(x) и g(x):
1) f(x)=x6+x5–3×4+2×3+4x–2, g(x)=x5+3×4+x3+6×2+4x+6.
2) f(x)=(x–1)813(x+2)107(x–3)91 , g(x)=x9+x8–5×7+x6+11×5–13×4–7×3+15×2–4. Для многочленов f=x3–x2+3x–10 и g=x3+6×2–9x–14 найти такие многочлены u и v, что f·u+g·v=d, где d=НОД(f, g). Найти НОД(f, g) и его линейное представление через f и g: f=x3+x2-x–1, g=x4+x3-3×2-4x-1. Найти НОД(f, g) , НОК[f, g] и линейное представление НОД через f и g : f=x4–4×3+1, g=x3–3×2+1.

Корни многочлена и схема Горнера. Полиномы над числовыми полями

Найти кратность корня c = –2 у многочлена f, если f=x5+6×4+11×3+2×2–12x–8. Разложить f по степеням двучлена x+2, если f=3×5+7×4+x3–2x+3 (с помощью схемы Горнера). Отыскать рациональные корни многочлена f(x):

1)  f(x)=x4-2×3-8×2+13x-24,

2)  f(x)=10×4-13×3+15×2-18x-24,

Основные понятия теории групп. Кольца и поля.

Доказать, что множество целых чисел, кратных 3, есть подгруппа аддитивной группы целых чисел. Доказать, что множество матриц вида , где аÎR {0}, есть подгруппа мультипликативной группы G всех невырожденных матриц второго порядка. Доказать, что отображение x ® 3x является изоморфизмом аддитивной группы действительных чисел на мультипликативную группу положительных действительных чисел. Исследовать, образует ли кольцо относительно операций сложения и умножения матриц множество М матриц вида , где a, b — любые действительные числа. Проверить, образует ли поле кольцо <A,+,•> , если A=. Проверить, отображение j, такое, что
j: →, является ли изоморфизмом поля F1 на поле F2, где F1=, F2=Q()=, а операции определены как обычно.