Учебные материалы по математике | Характеристика поля. примеры полей | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Характеристика поля. примеры полей


4. Mn(R) – мн-во квадратных матриц n-го порядка над полем действительных чисел R. Mn(R) – не коммутативное кольцо с единицей, содержит делители нуля.

Е=— единица.

А= , В= А·В==

В·А= А·В¹В·А, т. е. не коммут.

Легко видеть, что матрицы С= и D= являются делителями нуля, т. к. С¹, D¹, но С·D=0.

5. Мн-во функций, определённых для всех действительных значений x и принимающих действительное значение является коммутативным кольцом с единицей и имеющим делители нуля. Сложение и умножение функции определяется поточечно.

f: R→R

(f+g)(x)=f(x)+g(x), (f·g)(x)=f(x)·g(x), (g·f)(x)=g(x)·f(x)= f(x)·g(x)

E(x)=1 –функция, выполняющая роль единицы " хЄR

θ (x)=0- функция, выполняющая роль нуля " хЄR

Делители нуля.

φ(x)= ψ(x)=

6. Мн-во многочленов от переменной х с коэфф-ми из поля Р.

Р[x] – коммутативное кольцо с единицей.

Делителей нуля нет.

Вопрос 3.

Определение поля, св-ва. Характеристика поля. Примеры полей.

Опр. Полем наз-ся мн-во Р, в котором определены две бинарные операции + и ·, удовлетворяющие следующим условиям:

+

·

1. (+)- коммутативная

1’. (·)- коммутативная

2. (+)- ассоциативная

2’. (·)- ассоциативная

3. $ нулевой эл-т из Р

0ЄР:"аЄР: а+0=а

3’. $ нейтр. эл-т из Р

0¹еЄР:"аЄР: а·е=а

4. "а$ противоположный эл-т "аЄР $ (-а)ЄР:а +(-а)=0

4’. "а$ обратный эл-т а¹0 "0¹аЄР $ (а-1)ЄР:а ·(а-1)=е

5. (a+b)·c=a·c+b·c

Из определения (аксиомы 1-4 ,1’ и 5) вытекает, что Р является кольцом Þвыполнимы все свойства кольца, в частности в поле можно ввести бинарную операцию вычитание.

Из определения (все аксиомы кроме 4’) вытекает, что поле является коммутативным кольцом с единицей.

Поэтому можно дать др. опр. поля: Полем наз-ся коммут. кольцо с единицей, в кот. 0¹е и любой ненулевой эл-т обратим.Þ в поле справедливы следующие св-ва.

1º Единичный эл-т единственен;

2º Нулевой эл-т единственен;

3º Каждый эл-т поля имеет единств. противопол. эл-т;

4º Каждый ¹0 элемент имеет только один обратный;

5º a+c=b+cÞ а=b

6º а·b=а·с, а¹0 Þ b=с

7º " а, b ЄР (b¹0) уравнение вида а+х=b имеет единственное решение вида х=b+(-а)

8º (а·b)-1=b-1·а-1= а-1·b-1

9º Поле не имеет делителей нуля.

Если а·b=0, то а=0 или b=0

Если а=0 Þвсё док-во

Если а¹0 Þ а·b=0=а·0

а·b=а·0Þ(по 4º, а¹0)Þ в=0 чтд.

10º " а, b ЄР (b¹0) уравнение вида b·х=а имеет единственное решение вида х=а·b-1. Решение данного уравнения наз-ся частным элементов а, b и обозначается .

В силу св-ва 10º получаем, что " а, bЄР (b¹0) частное однозначно определено, причём выполняется равенство

=а·b-1 (*)

Св-ва частного:

1. а-1=; 2. =0 а=0, b¹0; 3. Ûa·d=в·с; 4.;

5. ; 6.-; 7. ()-1=, а¹0, b¹0.

Док-ва: (проводятся на основании (*))

1. = (по (*))=е·а-1=а-1

2. (b¹0)Û(по (*)) а·b-1=0 (b-1¹0)Û (по 7º) Ûа=0

3.Û(по(*))Ûа·b-1=с·d-1Û (а·b-1)( b·d)=(с·d-1)·( b·d)Ûad=cb

4.+=(по(*))=а·b-1+с·d-1=а·b-1·е+с·d-1·е=(а·b-1)·(d·d-1)+(с·d-1)+ +(b·b-1)=(аd+cb)·( b-1·d-1)=(по 6º)=(аd+cb)·( b·d)-1=(по(*))=

Характеристика поля.

Z5 ={, ,} – поле

5()===

5()= т. е. в поле Z5 целое кратное единицы равно .Þопр.

Опр. Наименьшее натуральное число m, для которого me=e+e+…+e(m раз)=0 наз-ся характеристикой поля.

Если же любое натуральное кратное единице е отлично от 0, то говорят, что характеристика поля равна 0.

Н-р. Q,

m·1¹0 " mЄN, т. е. характеристика поля Q равна 0.

А поле Z5 имеет характеристику 5.

Т. Характеристика поля является либо 0, либо простым числом.

Док-во: Если характеристика поля равна 0, то Т. док-на.

Пусть характеристика поля не равна 0, а является натуральным числом и допустим не явл. простым числом.

Рассмотрим 3 случая:

1) m=1 m·e=e=(по опр. характеристики )=0 (противоречит опр. поля е¹0)

2) m-составное, тогда m1, m2:

m=m1· m2 , 1< m1< m, 1<m2<m Þme=(m1·m2)·e=(m1e)· (m2e)=0Þ(7)Þ m1e=0 или m2e=0 (т. к. в поле нет делителей нуля), а это означает, что m не явл-ся наим. натур. числом с таким св-ом, что противоречит тому, что m — является характеристикой поляÞ m – простое. чтд

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод