Характеристическое уравнение

= (x, , …) (6.3)

= (x, ,,…)

Из первых (n- 1) — го уравнений системы (6.3) выразим функцию , ,…

Через x : x, … , = (x, , ’, …), = (x, , ’, …) (6.4)

Найдем значение …подставим в n-ое уравнение (6.3) и получим уравнение n-го порядка

= φ(x, , ’, …), = (x, …)

Продифференцируем (n – 1) раз и подставим значения производных ’,…, в уравнении (6.4)

Найдем функцию:

= (x, …)

= (x, …)
Однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.

Общий вид ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами :

y’’ + py’ + qy = 0 (4.1)

Пункт 4.1. Интеграция ДУ 2-го порядка с носителем коэффициента

В частном случае, в рассмотренном выше линейных однородных уравненией является ЛОДУ 2-го порядка.

Рассмотрим ЛОДУ 2-го порядка (4.1) где p и q = const

Будем искать его решения в виде y = ( Эйлер)

Подставим y = в уравнение (4.1) y’’ + py’ + qy = 0 получим

y‘=k , y‘’=

+ pk + q = 0 (4.2)

+ pk +q = 0 (4.2 a)

Опред.: Уравнение (4.2 а) называется характеристическим для уравнения (4.1). При решении уравнения (4.2 а) возможны 3 случая:

1 случай :

Корни в (4.2 а) действительны и различны к1,к2R, к1≠к2; тогда функции y1 = = линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений уравнения (4.1). В этом случае, общее решение можно записать в виде : y= , = const

2 случай :

Корни к1,к2 э R, . Дискриминант, в этом случае, уравнения (4.2а)=0. Имеем 1 решение :

=

Покажем , что функция = будет также решением уравнения (4.1)

’ = + = (k1x + 1)