Высшая математика основные определения

Система координат на прямой.

Пусть дана некоторая прямая. Установим на ней положительное направление, прямая станет осью. Затем выберем на этой прямой т. О это будет начало отсчета. Зададим масштабный отрезок (единичный Е) если на прямой выбрано направление, начальная т. О и единица масштаба, то говорят что на этой прямой введена декартова с. к.. Сама прямая наз. Корд. Осью, а т. О – нач. координат. Введение декартовой с. к позволяет определить положение точек этой прямой с помощью действительных чисел. Корд любой точки М наз. числом х, равное величине направления ОМ. Т. е. корд. Это число равное по абсолютной величине расстоянию т. М от начала корд и это число имеет знак + если совпад с осью и –если не совпадает. При помощи декартовой с. к например можно установить взаимно однозначное соот между множеством всех т. Прямой, т. е. к оси и множеством всех действительных чисел, а именно любой т прямой соотв опред действит число, а любому действ числу соотв опред т. на прямой.

Прямоугольная с к на плоскости

На плоскости задана декартова прямоугольная с. к, если задана пара взаимоперпердик осей и при этом условленна какая из этих осей явл первой, а какая второй, а также задан единичный или масштабный отрезок, т. О – пересечение осей нач корд. Первую ось наз осью абсцисс (ОХ) вторую – ордината (ОУ) это оси координат.

Пусть М произвольная т. плоскости. Из этой т. опустим перпендик на оси координат. Абсциссой т. М наз. Величину отрезка ОК оси ОХ, а ардинатой ОС оси ОУ. Пару Пару чисел х и у где х=ОК, у=ОС наз. Корд т М в выбранной с. к. Тот факт что т. М=О тогда и только тогда, когда т. М лежит на оси ОУ, а ордината =О когда т. М лежит на оси ОХ.

У начала корд т О и только у него обе корд =О т. о каждой т. М плоскости соотв пара действит чисел (х, у) корд этой точки и на оборот, каждой паре действит чисел соотв и при этом только 1 точка на плоскости для которой эти числа будут ее корд.

Каждая корд ось разбивает на 2 ч, а вместе оби оси разбив его плоскости на 4 четверти

Полярная с. к на плоскости

Возьмем на плоскости т. О и через нее ось ОР. Будем наз т. О полюсом, а полуось т. е лучь выходящий из т. О в положит направлении для оси ОР полярной осью. Задание полюса О полярной оси ОР и единичного (масш) отрезка ОЕ опред на плоскости полярную с. к. Возьмем т. М и соед ее с полюсом. Полярным рариусом РО любой т. М плоскости наз ее расстояние от полюса О, т. е длина отрезка ОМ — полярн радиус (q) Полярным углом g т. М наз угол наклона направл ОМ к полярной оси ОР, угол g опред с учетом знака и до слогаемого 2ПК, т. е обычно в качестве полярных углов в т. плоскости берут главные значения 0≤g≤2П(360). Числа q и g т. е поляр град и угол наз полярн корд. Для т. О полюса при q=0 угол g не имеет опред значения. Задание любой пары действ чисел q и g где q не отриц позволяет построить на плоскости 1 и только 1 т. М для которой эти числа явл ее полярной корд, если q=0 т. М совпад с полюсом если q>0, то построение т М сводится к построению ОМ, угол наклона которого в полярной оси= g, а длина =q

Связь между прямоугольной декартовой и полярными корд.

Рассмотрим на плоскости прямоуг декарт с. к (ХОУ) и полярную с. к у которой полюса совпадают с началом корд т. О а поляр ось совпад с осью абсцисс.

Возьмем на плоскости произвольную т. М, корд М(х;у) а в поляр с. к (q;g) т. L не совпад с нач корд.

Cosg=х/q sing=y/q следоват x=q*cosg y=q*sing

Мы получили формулы которые позволяют по известным поляр корд получить декартову с. к х и у

При любом полож т. М q2=x2+y2

q= корень х2+у2 cosg=x/корень х2+у2 sing=у/корень х2+у2 Получили формулы которые позволяют из известных декарт корд получить ее полярные корд.

Декартова прямоугольная ск в пространстве ДПСКВП

ДПСКВП считается заданной если даны Е, 3 взаимоперпендик оси пересекающиеся в 1 т. О наз ее нач корд., и указано какая явл осью ОХ, ОУ, ОZ – это корд оси. Пусть т М это произвольная т в пространстве. Опустим перпендик на корд оси K, L, N – это проекции т. м на оси корд. Эти точки явл точкой пересеч с осями корд плоск. Перпендик этим осям и проходит через т. М. Первой корд (абс) т М наз число х= ОК, второй (ординат) т. М наз число у=OL третьей (аппликатой) т. М наз Z=ON. Если т. М имеет корд (х;у;z) то пишут также М(х;у;z). По определению корд т. М (0;0;0) любая т. М лежащая на оси ОХ имеет ординату у и аппликату z равные 0 и соответственно ……

Имеем 3 коорд плоскости XOY, YOZ, ZOX. Для точек лежащих в плоскости ХОУ аппликата z=0 и соотв…….

Каждая из этих плоскостей делит на 8 аттантов. Введение в пространстве дек прям ск позволяет каждой т в пространстве поставить в соотв упорядоченную 3-ку действ чисел корд этой точки и наоборот каждой упорядоченной 3-ке действ чисел соотв в пространстве единственная точка для которой эти числа явл ее корд в выбранной ск. Для постороения т. М по известной ее корд XYZ достаточно на оси OX построить т К для которой ОК=х на оси орд найти т. L для которой OL= у и на оси аппликат найти т N для которой ON=z. И через т. K, L,N провести плоскости перпендик соотв осям OX, OY, OZ, т. М лежащая в пересеч этих плоскостей будут иметь корд (xyz)

Линии и их уравнения на плоскостях

Пусть х и у переменные величины каждая из которых может принимать различные значения. Рассмотрим уравнение F(х, у)=0

Будем говорить что числа х0, у0 удовлетворяют уравнению, если подставив их вместо переменных х и у в выражение F(х, у) мы получим тождество F(х0,у0)=0 и наоборот если числа х0 и у0 не удовлетв уравнению то подставив их в левую часть вместо переменных х и у мы получим что F(х, у)не равно 0

2у-х=0; х=2, у=й – удовлетв;; х=3, у=1 – не удовлетв

Уравнение F(х, у)=0 может удовлетворять 1 пара действ чисел, несколько и даже безчисленное множество таких пар. Существует уравнение которым не удовл не 1 пара действ чисел х4+у2+1=0 х4+у2=-1 В аналит геометрии линии рассматр как геом место точек и их составлющее например окружность опред как геом место точек плоскости равно отстоящее от некоторой фиксир т плоскости, т. е центра окружности. Биссектр плоского угла можно рассматривать как геом место точек равноотстоящих от сторон этого угла. Пусть на данной плоскости выбрана декартова прямоуг ск ХОУ. Уравнение F(х, у)=0 связывающее 2 переменные величины х и у наз уравнением линии в выбранной с. к на плоскости, если корд любой т линии удовлетв этому уравнению а корд т не принадлежит линии – этому уравн не удовлетв. Т. о уравнение линии есть соотношение связыв корд т данной линии и только ее. Это соотнош представл собой аналит запись. Т. е запись с помощью формулы того свойства которое выделяет среди данной линии т. е уравнение линии это запись св-ва которое опред данное геометр место точек. Например возьмем окруж с радиусом Р и пусть центр т. О (а;в) Т. о окруж опред как геом место т отстоящих от т О на расстояние Р. (х-а)2+(у-в)2-Р2=0 . (х-а)2+(у-в)2=Р2

Уравнение прямой (с углов коэф)

Прямая м. б задана уравнением 1 степени относительно х и у; у=кх+в, в этом уравнении х и у явл корд произвольной т прямой а постоянные для данного уравнения в и к наз параметрами этого уравнения: к-углов коэф, а в –это начальная ордината. Геометрич смысл этих параметров след: к= tg gугла наклона прямой к оси абсц. в – нач ординат т. е отрезок отсекаемой прямой на оси ординат

Частные случаи: в=0 у=кх – прямая проходит через нач корд

К=0 у=в прямая параллельна абсц и пересек в в точке в

Х=а аналогично

Общее уравнение прямой

Всякое уравнение 1 степ относит х и у (Ах+Ву+С=0) опред в прямоуг с. к ХОУ некоторую прямую. Возможные случаи: А, В, С не равны 0 разделим все члены уравн на коэф у=-А/Вх-С/В, обозначим через к=-А/В, в=-С/В, у=лх+в

А=0, В, С не равно 0, Ву+С=0 у=-С/В обозначим в, у=в – уравн прямой.

А, С не равно 0 В=0 Ах+С=0 х=-С/А, х=а уравн прямой проход через т А параллел оси орд.

С=0 А, В не равны 0, Ах+Ву=0 , у= -А/Вх, к=-А/В, у=кх – уравн прямой прох через нач корд.

А=0, С=0, В не равно 0 Ву=0 у=0 ось абсц

В=0, С=0 А не равно 0 Ах=0 х=0 ось орд.

Во всех случаях уравнения где А и В одновременно не равны – явл уравнением прямой. В прямоуг декарт с. к всякая прямая м. б представлена уравнением 1 степени и обратно любое уравнение 1 степ относит х и у опред прямую линию.

Уравнение прямой прох через данную точку в данном направлении

Необх сост уравнение прямой проход через т М0(х0;у0) и имеющ углов коэф К. Уравнение этой прямой можно записать как уравнение прямой с углов коэф у=кх+в. В этом уравнении начальная ордината в пока не известна т. к искомая прямая проходит через Мо, то корд этой т должны удовлетворять этому уравнеию, т. е у0=лч0+в, получим уравнение где 1 неизвестное в=у0-лх0 и у =кх=(у0-кх0), у-у0=к(х-х0), полученное уравнение наз уравнением прямой прох черех данную точку в заданном направлении

Уравнение прямой проходящей через 2 заданные точки

Воспользуемся уравнением у-у0=к(х-х0) в этом уравнении к – неизвестно, т. к искомая прямая проходит через т М2 (х2;у2) то корд этой т должны удовл уравнению у2-у1=к(х2-х1) к= у2-у1 /х2-х1 Подставляя найденное знач к в уравнение получим искомое уравнение прямой проход через т М1 и М2 у-у1= у2-у1/х2-х1*(х-х1) и если у2 отлично от у1 получаем у-у1/у2-у1=х-х1/х2-х1

Уравнение прямой в отрезках по осям

Необходимо сост уравнение прямой если известно что она отсекает на си абсц отрезок а не равное 0 а на оси ордин в не равн 0. Пусть данная прямая отсекает на оси абсц отр ОА а на оси орд ОВ тогда т А(а,0), т В(0,в), у-0/в-0=х-а/о-а, у/в=х/-а) +1, х/а+у/в=1

Сколярное произведение векторов

Сколярное произведение 2-х векторов наз число равное произведению их длин, модулей умноженное на cjs угла м-ду ними. Обозначается (а, в), а*в, ав. Согластно опред имеем |ав|=|а|*|в|cos g. Скалярное произведение векторов а и в будет = 0 в 2 случаях: 1. Если хотя бы 1 из векторов а и в явл. Нулевым вектром; 2 Если векторы перпендик (ортоданальны) если скалярное произведение 2 х векторов =0 то либо эти векторы перпендикулярны либо 1 из них нулевой.