Выражение с переменной, его тождественное преобразование

Т4(VLεỖ) (Œ-LεỖ)L+(-L)=0

Опре-ие: разностью L, B ε Q назыв-ся рацио-ое число γ=L-B

L=B+γ= B+(L-B)

Т5Разность рацио-ых чисел сущест-ет и един-на

Сущест-ие

L-B=L+(-B)

B+(L-B)=B+(L=(-B))=B+(-B+L=(L+(-B))+L=0+L=L

L+(-B)=L-B

Един-сть вытекает из един-ти суммы рацио-ых чисел

Опре-ие: произ-ие L←<a, b>, b≠0

B←<c, d>, d≠0 назы-ются LB←<ac, bd>, при этом <ac, bd> =<a, b><c, d>

Т6Произ-ие рацион-ых чисел сущест-ет и един-но

Док-во: Сущест-ие. Т. к. умнож-ие рацио-ых чисел сводится к нахождению произ-ия целых чисел, кот-ое по док-ому сущест-ет, то существует и произ-ние рацио-ых чисел.

Един-сть.

L←<a, b>~<a1,b1> b, b1,d, d1 ≠0

B←<c, d>~<c1,d1>

=><a, b><c, d>~<a1,b1><c1,d1>

<ac, bd>~<a1c1,b1d1> ó (ac)(b1d1)= (bd)(a1c1)

<a, b>~<a1,b1> => ab1=ba1

<c, d>~<c1,d1>=> cd1=dc1

(ab1)(cd1)=(ba1)(dc1)

(ac)(b1d1)=(bd)(a1c1) => <ac, bd>~<a1c1, b 1d1> => <a, b><c, d>~<a1,b1><c1, d1>

Свой-ва умножения.

·  Умно-ие рацио-ых чисел коммунитативно, асоциа-но, дистриб-но, т. е. для любых L, B, γεQ

-L*B=B*L

-L(Bγ)=(LB)γ

-(L+B)γ=Lγ+Bγ

·  На м-ве рацио-ых чисел существует единица такая, что для

(Œ1ε Ỗ) (VLεỖ) L*1=L

·  На м-ве рацио-ых чисел для любого элемента

(VLεỖ, L≠0) (ŒL –1 ε Ỗ) L*L-1 =1

Опре-ие: частным рацио-ого числа L и рацио-ого числа B отличного от 0, назыв-ся рацио-ое число L такое, что L=Bγ

Т 7Частное рацио-ых чисел сущест-ет кроме деления на 0 и единст-но

Док-во:сущест-иею Покажем, что L:B=L*B-1

B(L:B)= B(L*B-1) = L(B*B-1) = L*1=L

По опре-ию L*B-1 = L:B =>сущест-ие частного

Един-ть часного следует из един-ти произ-ия рацион-ых чисел.

24. Выраж-е с переменной, его тождест-ое преобраз-е. Тождество. Понятие нерав-ва с одной переменной. Теоремы о равносильных нерав-вах.

·  Выраж-я, кот. в своей записи содержат не только число, но и буквы наз алгебраич. выраж-ями или выраж-я с переменной.

·  Буквы, входящие в такие выраж. наз. переменными.

Различают выраж-я с одной, двумя и т. д. переменными. Обознач. выраж. А(х), В(х, у)

·  Знач. переменной, при кот. выраж. имеет смысл наз. допустимыми знач. переменной.

·  Мн-во всех допустимых знач. переменной выражения А(х) наз. обл. опред. выраж. А(х) и обознач. D(А)

Пример: Найти обл. опред. выр-я: А(х)=2х/х2+3х+4

х2+3х+4 х1 =4; х2 = 1

D(А)=(-бесконечн;-4)U(-4;1)U(1;+бесконечн)

Пусть дано выр-е с двумя переменными А(х, у). Каждой паре (а, в) будет соответ-ть числов. выраж-е А(а, в), кот. получ. из выраж-я от А(х, у), если вместо х и у поставить соответств. числа а и в.

Знач. выраж. наз. знач. выраж. А(х, у) при х=а, у=в

·  Два выраж-я наз. тождественно равными, если при люб. знач. переменных из обл. опред. выр-й их соответствующ. знач. равны.

·  Тождеством наз. рав-во верное при всех допутимых знач-ях, входящих в него переменных.

·  Замена выраж-я другим тождественно равным ему наз. тождественным преобразованием выраж-я.

·  Пусть f(х), g(х) – выр-я с перемен. х, определённые на Х. Одноместный предикат f(х) >(<,>,<)g(х) наз. нер-вом с одной переменной с обл. опред. Х.

·  Реш-е нерав-ва с одной перем. х Э Х, кот. обращ. дан. нерав-во в истинное числов. нерав-во. Решить нерав-во значит найти все его реш-я, т. е. мн-во истинности дан. предиката.

·  Если каждое реш-е одного нерав-ва удовлетв. др. нерав-ву, то второе нерав-во наз. следствием первого. (Пр: 1) х>2 , 2) х>4, 1) — следствие 2)

·  Два нерав-ва с одной перем. наз. равносильными на Х, если на этом мн-ве мн-во их реш-й совпадает. (Пр: х-1>4 х+1>6 — не равносильны.)

Теор. Пусть нерав-ва f(х) >g(х) заданы на мн-ве Х и h(х)- выраж-е, опред-ое на этом же мн-ве. Тогда нерав-ва (1) f(х) >g(х) и (2) f(х)+ h(х) > g(х)+ h(х) – равносильны.

¨  1) Пусть а – реш-е нерав-ва (1) следовательно f(а) >g(а) – явл. истин. числ. нерав-вом.

Прибавим к обеим его частям h(а). Получим f(а)+ h(а) > g(а)+ h(а) – истин. (по св-ву числ. нерав-в). Из последнего нерав-ва следует: а – реш-е нерав-ва (2).

2) Пусть а – реш-е нерав-ва (2), тогда числ. нерав-во f(а)+ h(а) > g(а)+ h(а) – истинно. Прибавим к обеим его частям числ. выр-е -h(а). Получим истин. числ. нерав-во f(а) >g(а), откудаследует, что а – реш-е нерав-ва (1).

В силу произвольн. а – м/ утверждать, что кажд. реш-е нерав-ва (2) явл. реш-ем нерав-ва (1). Получили, что мн-во реш-й дан. нерав-ва совпадает, следовательно они равносильны.

Следствия: 1. Если к обеим частям нерав-ва f(х) >g(х) прибавить одно и тоже число d, то получ. нерав-во f(х)+d > g(х)+d равносильному данному.

2. Если какое-л. слагаемое (числов. выраж-е или выр-е с перемен.) перенесём из одной части нерав-ва в др., поменяв знак на противополож-й, то получ. нерав-во равносильное данному.

Теор. Пусть нерав-во f(х)>g(х) задан. на мн-ве Х и h(х) — выраж-е, опред-ое на этом же мн-ве и принимающее положит. знач., тогда f(х)h(х) > g(х)h(х).

Теор. Пусть нерав-во f(х) >g(х) задан. на мн-ве Х и h(х)- выраж-е, опред-ое на этом же мн-ве и принимающее лишь отриц. знач, тогда f(х)h(х) < g(х)h(х).

Следствие: Если обе части нерав-ва f(х) >g(х) умножить на одно и тоже положит. число d, то получ. нерав-во f(х)d > g(х)d равносильное данному.

Если обе части умножить на отриц. число k, то дан. нерав-ву будет равносильно нерав-во f(х)k < g(х)k

Теор. Нерав-ва 0 < f(х) < g(х) и 0 < 1/ g(х) < 1/ f(х – равносильны.

24. Геом-ая фигура как точечное мн-во. Понятие геом-го преобраз-я. Основные геом-ие преобраз-я на плоскости и их св-ва.

1.Понятие "геометрическая фигура", отображение точечных множеств.

¨  Геометрической фигурой наз-ся любое мн-во точек. Точка, прямая, плоскость – простейшие геометрич. фигуры, а также треугольник, круг, квадрат и т. д.

¨  Если все точки геометрич. фигуры Є одной плоскости, то такая фигура наз-ся плоской. % окружность, многоугольник и т. д.

Сущ-ют фигуры, к-ые не явл-ся плоскими. % куб, шар и др.

Т. е. геометрич. фигуры представляют собой мн-во точек, то можно говорить о включении одной фигуры в другую, можно рассматривать U, ∩, U/ геометрич. фигур.

¨  Две фигуры наз. равными,если они при наложении совпадают.

Пусть x, y – некот мн-во точек и каждому эл-ту x Є X сопоставляется вполне определённый элемент у Є Y.

В этом случае говорят, задано отображ-е мн-ва X в мн-во Y или задана ф-ция f: Х→ Y.

Т. к. в геометрии рассматрив-ся точечные мн-ва, то чаще применяется термин "отображение", а не "ф-ция".

Мы будем рассматривать только такие отображ-я, в к-х области опред-я и мн-во значений явл-ся мн-вами точек плоскости.

% Пусть ω–некоторая окруж-ть. АВ–её диаметр

Поставив в соответствие каждой т. М Є ω её ортогональную (┴) проекцию на прямую АВ. Получим отображение мн-ва точек окружности на прямую АВ.

Понятие геометрич-го преобразования.

Если в отображении f: Х→ Y мн-ва Х и Y совпадают, то говорят, что задано отображение мн-ва Х на себя.

¨  Преобразованием непустого мн-ва Х наз-ся любое взаимооднозначеное отображение мн-ва Х на себя.

Говорят, что преобразование сохраняет расстояние, если расстояние м/д любыми двумя точками А,В равно расстоянию м/д их образами А’,В’. АВ=А’В’

¨  Преобразование, сохраняющее расстояние наз-ся движением плоскости.(F)

Простейшим примером движения плоскости явл-ся тождественное преобраз-е, т. е. такое преобраз-е, при к-ом каждая точка переходит сама в себя.