Вычитание целых неотрицательных чисел

Пр-р: Коля собрал 10 грибов, Ваня 12, а Петя 15. Сколько грибов собрали мальчики вместе?

n(A)=10 – Коля

n(B)=12 – Ваня

n(C)=15 — Петя

Рассмотрим два случая:

1) а+1 не принадлежит Х => XcNa => по предложению индукции А – конечно

2) а+1є Х; Х1=Х{a+1} => X1 c Na => по предложению индукции А – конечно

Если Х1 – конечно => Х1 → Nb => a+1 → b+1 => X → Nb => X – конечно.

В задачи требуется, определить число элементов в объединении трех попарно непересекающихся мн-в => она решается операцией сложения: n(A1UA2 UA3)= n(A1)+n(A2)+n(A3)=10+12+15=37

9 теоретико множественный подход к вычитанию целых неотрицательных чисел.

В аксиоматической теории натуральных чисел вычитание определяется как операция обратного сложения а-в=с тогда и только тогда, когда в+с=а

А={a, b,c, d,e},выделили в нем собственное подмножеств В={c, d,e}ВсА

Например: n(A)=5, n(B)=3, n(B’A)=2

AB=B’A={a, b}

n(B’A)=n(A)-n(B)

в общем случае ситуация оказывается аналогичной т. е. на разность двух натуральных чисел можно смотреть как на число элемента дополнения второго множества до первого при условии, что второе множество есть собственное подмножество первого.₁

Теорема:если множествоВ есть собственное подмножество некоторого конечного множестваА, то множ-во В’А(дополнение) так же конечно причем оказывается справедлива формула n'(B’A)=n(A)-n(B),

A, B c A, Bне=, В’А сА, В’Ане=,

В’А –конечно,

А=ВВ’А ,В∩В’А =,

n(A)=n(B)+n(B’A)

n(B’A)=n(A)-n(B)

правила вычитания так же допускают теоретико множественную трактовку. Рассмотрим правила вычитания числа из суммы.

а≥с,(а+в)-с=(а-с)+в

(АВ)С=(АС)В

Мы должны выбрать 3 множ-ва А, В и С, такие что А∩В= (в силу трактовки сложения)СсА(в силу трактовки вычитания)

Для таких множеств окажется справедливым равенство (АВ)С=(АС)В

Из которого и следует данное правило. следует обратить внимание на то, что соответствующее равенство над множеством для произвольных множеств оказываетсянесправедливым. Аналогичным образом рассматривается остальные правила вычитания.

Из теоретико множественной трактовки вычитания вытекает теоретико множественная трактовка широко используемых в математике начальных классов отношений как быть больше на…или быть меньше на…

Пусть даны а, в, а<в. Введем в рассмотрение 2 множ. n(A)=a, n(B)=b, тогда в мн-ве В можно выделить В₁сВ, В₁А, при этом ВВ₁сВ, если при этом n(BB₁)=C, то во множествеВ окажется элементов столько, сколько их во множ-ве А и еще+С элементов, т.е. число в, окажется> числа а, на с

Т-ко-м-ное истолкование правил вычитания

·  прав-о вычит-ния числа из суммы

a, b, c ε N

1.  a >c, (a+b)-c= (a-c)+b

2.  b > c, (a+b)-c= a+ (b-c)

Д-во: А, В, С конечные, а= n (A), b= n (B), c=n (C)

a>c след-но С с А, A∩B = ø

I

(A U B) C=(AC)UB=> n ((A U B)C)=n ((AC) U B)

C c AUB (AC)∩B =ø

n (AUB)-n(C)= n(AC)+n (B)

(n (A)+ n (B))-n (C)=(n(A)-n(C))+n (B)

(a+b)-c =(a-c)+b

xε(AU B) C след-но х ε AUB и x ¢ C след-но:

1.  x єA и x¢B

2.  x¢A и xεB

3.  xεA и xεB

4.  и x¢C след-но

·  x¢A

·  xεB

·  x¢C

II

xε(AC)UB след-но

1.  xεAC и xεB

2.  x¢AC и xεB

3.  xεAC и x¢B

след-но

1 xεA и xεB и xεB

2 1)x¢A и x¢C и xεB

2) xεA и xεC и xεB

3)x¢A и xεC и xεB

3 xεA, x¢C x¢B

1)x¢A, x¢C, xεB след-но xεAUB и x¢C след-но xε(AUB)C

·  пра-о выч-ия суммы из числа

a, b, c ε N

a>b след-но a-(b+c)=(a-b)-c

a>c след-но a-(b+c)= (a-c)-b

a=n(A), b=n(B), c=n(C)

a>b след-но BcA

A(BUC)= (AB)C

n(A (BUC))=n ((AB)C)

BcCcA

CcAB

n(A)-n(BUC) =n (AB)- n (C)

B∩C=ø BcA

n(A) — (n(B)+n(C))= (n(A)-n(B))-n(C)

·  пра-о выч-ия числа из разности

a, b, c ε N

a>c след-но (a-b)-c = (a-c)-b

(a-b)-c = a — (b+c)

a=n(A), b=n(B), c=n(C)

a>b след-но BcA

a>c след-но CcA

(AB)C = (AC)B

·  пра-о вычи-ия разности из числа

a, b, c ε N, b>c

a>b след-но a-(b-c) = (a-b)+c

a-(b-c) = (a+c)-b

a=n(A), b=n (B), c =n (C)

b>c след-но CcB

a>b след-но BcA

след-но CcA

A(BC)=(AB)UC

·  прибав-ние разности к числу

a, b, c ε N, b>c

a>c след-но a+(b-c)=(a-c) +b

a=n(A), b=n (B), c=n (c)

b>c след-но CcB

a >c след-но CcA

Теор-ко-мно-ое обоснование отно-ие больше на меньше на.

a<b след-но (Œ c ε N ) b=a+c

b>a на c

b<a на c

a=n(A), b=n(B)

B1cB, c=n(BB1)=n(B)-N(B1)=b-a

Вывод: с теоретико-множе-ой точки зрения a<b на с, где а= n(A), в=n(B) означает, что во м-ве В элементов столько же, сколько во м-ве А и еще с элементов.

10. Теоретико-мн-венный подход к умнож-ю целых неотриц. чисел. Существование и единств-сть умн-я. З-ны умн-я.

!Объединением 2х мн-в А и В наз-ют мн-во обозначаемое АUВ, к-ое состоит из эл-тов принадлежащих хотя ы одному из мн-в. АUВ={x|xЄА или xЄВ}

хЄ АUВ=> 1. xЄА, х₡В 2. х₡А, xЄВ 3. xЄА, xЄВ

х₡ АUВ=> х₡А, х₡В

! Мн-во упорядоченных пар, первые компоненты к-рых Є 1ому мн-ву А, а вторые мн-ву В наз-ют декартовым произведением мн-в A и B. АхВ={<a, b>|aЄА, bЄВ}

Теорема 1: Для b>1 прозвед-е эл-тов а и b равно сумме b слагаемых, каждое из к-рых равно а.

Д-во:

Пусть а*b произвед-е 2х натур. чисел равное сумме b–слагаемых, кажд. из к-рых равно а.