Вычислить интеграл по замкнутому контуру

2) Кривая в переменных имеет вид

или .

Это окружность с центром в точке и радиусом .

Вводят параметризацию кривой по формулам (9):

.

Для верхней полуокружности (см. рис. 2) .

.

Рис. 2

Используя формулу (7), получают

.

Если окружность задать в показательной форме (10), то можно вычислить и по-другому:

, , .

3) Уравнение в переменных представляет собой окружность радиуса (см рис. 3).

Рис. 3

Вводят параметризацию окружности:

, .

=.

Этот способ вычисления можно сравнить с вариантом вычисления интеграла для переменной в показательной форме:

, , .

.

В вычислениях можно сразу использовать свойство периодичности для функции , следовательно, , или формулу Эйлера :

Задача 3. Вычислить интеграл по замкнутому контуру,

который состоит из верхней полуокружности и отрезка прямой , (начало пути в точке ).

Решение

Замкнутый контур Г состоит из двух различных участков: отрезка прямой АОВ и верхней полуокружности ВСА. Вычисление начинают с преобразования подынтегрального выражения.

Для участка АОВ (см. рис. 4): , ,

, , .

Переменная интегрирования .

.

Для участка ВСА (верхняя полуокружность): .

.

Тогда .

Общий результат: .

Задача 4. Вычислить интеграл .

Решение

Преобразуют подынтегральную функцию, выделяя действительную и мнимую часть:

, т. е.