Вычислить интеграл по замкнутому контуру
2) Кривая в переменных имеет вид
или .
Это окружность с центром в точке и радиусом .
Вводят параметризацию кривой по формулам (9):
.
Для верхней полуокружности (см. рис. 2) .
.
Рис. 2
Используя формулу (7), получают
.
Если окружность задать в показательной форме (10), то можно вычислить и по-другому:
, , .
3) Уравнение в переменных представляет собой окружность радиуса (см рис. 3).
Рис. 3
Вводят параметризацию окружности:
, .
=.
Этот способ вычисления можно сравнить с вариантом вычисления интеграла для переменной в показательной форме:
, , .
.
В вычислениях можно сразу использовать свойство периодичности для функции , следовательно, , или формулу Эйлера :
Задача 3. Вычислить интеграл по замкнутому контуру,
который состоит из верхней полуокружности и отрезка прямой , (начало пути в точке ).
Решение
Замкнутый контур Г состоит из двух различных участков: отрезка прямой АОВ и верхней полуокружности ВСА. Вычисление начинают с преобразования подынтегрального выражения.
Для участка АОВ (см. рис. 4): , ,
, , .
Переменная интегрирования .
.
Для участка ВСА (верхняя полуокружность): .
.
Тогда .
Общий результат: .
Задача 4. Вычислить интеграл .
Решение
Преобразуют подынтегральную функцию, выделяя действительную и мнимую часть:
, т. е.