Вычисление криволинейного интеграла

,

что противоречит условию, т. к. по условию криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования и по теореме 1. криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю.▼

4.3 Вычисление криволинейного интеграла, который не зависит от пути интегрирования.

Если криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, то он зависит только от начальной и конечной точек интегрирования, и такой интеграл записывают в следующем виде:

, где — начальная точка интегрирования, а ( — конечная точка интегрирования.

Этот интеграл проще вычислять по ломанной, соединяющей эти точки

BC:

CD:

Имеем:

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение: P(x, y)= y, Q(x, y) = x, ,

Функции P(x, y), Q(x, y), , непрерывны во всей плоскости и выполняется тождество

во всей плоскости. Следовательно, данный интеграл не зависит от пути интегрирования.

4.4 Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования в пространстве.

Определение: Трехмерная область Ω называется поверхностно односвязной, если на любой простой кусочно-гладкий замкнутый контур, принадлежащий области Ω, можно «натянуть плёнку», целиком лежащую в области Ω. Примерами поверхностно односвязной области являются шар, эллипсоид, полупространство, все пространство. Примером области, которая не является поверхностно односвязной, является тор.

Теорема 3. Пусть P(x, y,z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z) непрерывны вместе с частными производными первого порядка в поверхностно односвязной области Ω. Для того, чтобы криволинейный интеграл

не зависел от пути интегрирования в Ω, необходимо и достаточно, чтобы в Ω выполнялись тождества: ; .

Если криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, то справедлива формула:

.