Вычисление двойного интеграла

5)∫∫dxdy=S(Д) – одиночная функция

6)Если S – площадь области Д, то в этой области найдется (·)(x0,y0) токая, что ∫∫ Д f(x, y)dxdy=f(x0,y0)*S(Д)

f0(x0,y0) –наз. средним значением функции f(x, y) в области Д.

8. Вычисление двойного интеграла.

Требуется вычислить двойной интеграл ∫∫Д f(x, y)dxdy, f(x, y)≥0. Пусть область Д ограничена вертикальными прямыми x=a, x=b, вертикальными y=φ1(x), y=φ2(x), причём y=φ2(x)> y=φ1(x). Пусть любая прямая || оси оу пересекает область Д не более чем в двух точках, такая область наз. правильная в направлении оси оу, тогда справедлива формула:

∫∫Д f(x,y)dxdy = ∫ab dx ∫ φ2(x) φ1(x). f(x, y) dy (4) – формула для вычисления двойного интеграла.

В начале интегрируем f(x, y) по переменной у, считая x=const, а затем результат по переменной х, на отрезке [а, b].

Правая часть формулы (4) наз. повторным интегралом, от функции f(x, y).

∫ φ2(x) φ1(x). f(x, y) dy – наз. внутренним интегралом. ∫ab dx – наз. внешним интегралом. Фактически вычисление двойного интеграла сводиться к определению двух определенных интегралов. Если область Д ограничена прямыми y=c, y=d, функциям x=Ψ1(y), c=Ψ2(y) и область Д явл. правильной в направлении оси ох.

∫∫Д f(x,y)dxdy = ∫dc dy ∫ Ψ2(y) Ψ1(y). f(x, y) dx (5)

Здесь при вычислении внутреннего интеграла считаем у – постоянным. Замечание: Пример неправильной области. Следует разбить на конечное число правильных областей проинтегрировать. Может быть, что область Д такова, что одна из функций задается двумя аналогичными выражениями. То есть

Тогда двойной интеграл ∫∫ Д=∫∫Д1+∫∫Д2. ∫∫Д f(x,y)dxdy =∫ca dx∫f(x,y)dy+∫bc dx

∫ φ2(y) φ1(y). f(x, y) dy.

Замечание:

1.Формулы (4) и (5) справедлива и для f(x, y)≤0;

2.Если область Д правильная в обоих направлениях то двойной интеграл можно вычислить по формуле (4) и по формуле (5) результат один и тот же.

3.Если область Д неправильная, то её надо разбить на части правильные в направлении оси ox или оси oy.

4.Внешние приделы в повторном интеграле всегда постоянные, а внутренние переменные или постоянные, зависит от области.

Пр. Вычислить двойной интеграл. ∫∫Д (x²+y)dxdy; Д: y=x²; x=y²

9.Замена переменных в двойном интеграле. Переход к полярным координатам.

Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют метод подстановки, то есть водят новые переменные. Пусть требуется вычислить двойной интеграл по Д ∫∫Дf(x, y) dxdy, произведём замену по формулам. x=φ(u, v) y=Ψ(u, v) при этом область Д є плоскость xoy переходя в область G є пл. uov. Вычислим определитель который наз. якобиан. J = |ðx/ðu ðx/ðv

ðy/ðu ðy/ðv|

тогда справедлива формула замены переменной ∫∫Дf(x, y) dxdy= ∫∫Gf(φ(u,v), Ψ(u,v))|J| dudv (1)

Наиболее распространенная система при вычисления двойного интеграла это полярные координаты (r, φ). Связь декартовых координат и полярных выражается формулами. x=r*cosφ, z≥0; y=r*sinφ, 0≤φ≤2π

Пологая u=r, v=φ; вычислим якобиан:

J = |ðx/ðr ðx/ðφ = |cosφ – r*sinφ = r*cos²φ+r*sin²φ=r; J=r; cos²φ+r*sin²φ=1

ðy/ðr ðy/ðφ| sinφ r*cosφ|

Формула замен переменных будет иметь вид ∫∫Lf(x, y) dxdy= ∫∫Gf(r,φ)*r drdφ

Область G в полярных координатах ограничена лучами φ=λ, φ=β и кривыми r=r1(φ)r=r2(φ). Область G правильная, т. к. лучь выходящий из полюса пересекает её границу не более чем в 2(·). Двойной интеграл в полярных сводят к повторному. ∫∫G f(r,y)*rdr*dφ = ∫βλ du ∫ r2(φ) r1(φ). f(r, φ) *rdr(2)

Внешний интеграл всегда по φ в полярных координатах.

Замечание:

1)Переход к полярным координатам полезен когда под интегральная функция имеет вид f(x²+y²), а область интегрирования есть круг, сектор, кольцо и т. д.

2)На практике преобразование области Д в область G не выполняют, а совмещают декартову и полярную системы координат и находят нужные пределы по r и φ.

11.Тройной интеграл. Основные понятия, свойства тройного интеграла.

Теория тройного интеграла аналогично теории двойного интеграла поэтому рассмотрим её сокращённо. Пусть в замкнутой области V пространство охyz заданно непрерывна функция трёх переменных u=f(x, y, z):

1)Разобьем область V на n – частей Vi=i=1nˉ

2)Выберем в них произвольную (·) Mi (xi, y1, zi)

3)Вычислим значение функции u в (·)(Mi)=f(xi, yi, zi).

4)Составим интегральную сумму Σnn=1 f(xi, yi, zi)*ΔVi, где ΔVi – объём элементарной области Vi.

Если сущ. предел экспериментальной суммы при n→∞ и он не зависит от выбора (·)Mi, то он наз. тройным интегралом от функции u=f(x, y.z), по области V. Обозначим: ∫∫∫Vf(x, y, z)dxdydz=limn→∞Σni=1 f(xi,yi,zi)*ΔVi (1)

Свойства тройного интеграла: обладает тем же свойствами, что и двойной.

1)∫∫∫V с*f(x, y, z)dxdydz=с∫∫∫V f*dxdydz обозначим dxdydz=dv

2)∫∫∫V (f+g)dv=.∫∫∫V f*dv+∫∫∫V g*dv