Введение в тфкп лекция

1. Понятие комплексного числа

Комплексным числом C называется упорядоченная пара (a,b) вещественных чисел a и b.

Числа вида (a,0) мы будем отождествлять с вещественным числом a.

Число a называется вещественной частью комплексного числа . Пишут ReC = a.

Число b называется мнимой частью комплексного числа , и обозначается ImC = b.

Если b ≠ 0, то комплексное число называется мнимым числом. Если же b ≠ 0 и, кроме того, а = 0, то комплексное число называется чисто мнимым числом.

Два комплексных числа и считаются равными (с1 = с2), если а1 = а2 и b1 = b2 (равны их вещественные и мнимые части чисел).

2. Арифметические действия над комплексными числами

Под суммой двух комплексных чисел и понимается комплексное число с = (а1+ а2, b1+b2) и обозначается с = с1+с2 .

Вычитание определяется как действие обратное сложению.

Под разностью двух комплексных чисел и понимается комплексное число с, такое что с1 = с+с2 и обозначается с = с1-с2. Оказывается, что эта разность единственная и при том равна .

Произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число с равное . Действие деления определяется как обратное умножению.

Под частным двух комплексных чисел и понимается комплексное число , такое что с1 = с·с2 . Частное обозначается символом с = с1/c2 . Оказывается, что частное существует и единственно, если с2 ≠ 0 (c1/0 = c; c1 = 0·с = 0; 0/0 = c; 0 = 0·с).

Действия сложения и умножения комплексных чисел обладают обычными арифметическими свойствами:

·  с1 + (с2 + с3) = (с1 +с2) + с3 (ассоциативность сложения)

·  с1 · (с2 · с3) = (с1 · с2) · с3 (ассоциативность умножения)

·  с1 + с2 = с2 + с1 (коммутативность сложения)

·  с1 · с2 = с2 · с1 (коммутативность умножения)

·  с1 · (с2 + с3) = с1 · с2 + с1 · с3 (дистрибутивность умножения относительно операции сложения)

Среди комплексных чисел выделяют число (0,1), которое обозначается символом i. Это число обладает характеристическим свойством:

i2 = i·i = -1

Действительно i·i = (0,1)·(0,1) = (0·0-1·1, 0·1+1·0) = (-1,0) = -1

Часто пишут неправильно, что . На самом деле — .

3. Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Легко видеть, что произведение b·i = (b,0)·(0,1) = (b·0–0·1, b·1+0·0) = (0,b) и c=(a,b)=(a,0)+(0,b). Поэтому c=a+b·i – алгебраическая форма записи комплексного числа.

Пользуясь алгебраической формой записи комплексного числа, легко показывается, что произведение комплексных чисел и можно вычислить по правилу умножения многочлена на многочлен с заменой i2 на -1.

с1·с2 = (а1+b1·i)·(а2+b2·i)=а1·а2+а1·b2·i+а2·b1·i +b1·b2·i2 =

= (а1·а2-b1·b2)+i(а1·b2+а2·b1) = (а1·а2-b1·b2,а1·b2+а2·b1)

Комплексные числа и называются сопряженными числами.

Легко доказывается, что операция сопряжения обладает свойствами:

1. 

2. 

3. 

4. 

Произведение , неравенство будет строгим, если с ≠ 0. Во множестве комплексных чисел существует единственное число , такое что , и в множестве комплексных чисел существует единственное число , что .

Пусть с1 = а1+b1·i и с2 = а2+b2·i , причем с2 ≠ 0, тогда частное , таким образом будет найдено частное.

4. Геометрические изображения комплексных чисел

Рассмотрим декартову числовую плоскость.

Изобразим комплексное число с = (a,b) = a+i·b точкой М(a,b). Эту точку М мы будем называть аффиксом комплексного числа с = (a,b) (аффикс – отметка). В дальнейшем эти точки мы будем также обозначать буквой с, и отождествлять комплексные числа с соответствующими точками декартовой плоскости.