Вторая теорема единственности

лежать в G.

С помощью точки доказано, что в точке функция и все ее производные равны нулю.

Повторяя те же рассуждения для круга с центром в , получим, что в функция и все ее производные равны нулю.

За конечное число шагов покажем, что этим же свойством обладает и точка .

Теорема доказана.

Следствие. Если две голоморфные в области G функции и совпадают в точке и имеют в ней одинаковые производные, то они совпадают во всей области G. Доказательство состоит в применении предыдущей теоремы к функции .

Заметим, что в обычном анализе нет аналога доказанной теоремы.

Например, функция , доопределенная нулем в нуле, имеет все производные в точке x = 0, равные нулю.

 Нуль, порядок (кратность) нуля. Точка, в которой голоморфная функция равна нулю, называется нулем функцию. То есть, если a – нуль функции , то , если при этом , то нуль называется простым. Если , но , то число k называется кратностью или порядком нуля.

Из первой теоремы единственности следует, что если голоморфная функция не равна тождественно нулю, то найдется производная некоторого порядка, отличная от нуля, в точке a. Следовательно, всякий нуль голоморфной функции имеет конечную кратность.

Пусть a – нуль кратности k функции . Применим формулу Тейлора при n=k-1. Так как , то

 (8.1)

где голоморфна в точке , и , в силу (7.4) из §7.

Итак, в окрестности нуля кратности k функция представима в виде (8.1), где – голоморфна и отлична от нуля в точке

Обратно, если функция представима в описанном виде, то дифференцированием проверяется, что и , т. е. функция имеет в точке a нуль кратности k.

Важное следствие. Нули голоморфной функции, не равной тождественно нулю, являются изолированными точками.

Действительно, так как и функция голоморфна, а значит и непрерывна, в окрестности точки , то найдется окрестность, в которой . В этой окрестности при оба множителя справа отличны от нуля и, следовательно, при .

Вторая теорема единственности. Если голоморфная в области G функция обращается в нуль на множестве, имеющем точку сгущения лежащую внутри G, то она тождественно равна нулю во всей области G.

Доказательство. Обозначим точку сгущения, о которой идет речь, через a. По условию и существует такая последовательность , что и , в силу непрерывности в G

.

Отсюда вытекает, что точка a является неизолированным нулем функции .По предыдущему следствию это возможно лишь тогда, когда функция тождественно равна нулю в окрестности точки a. В силу первой теоремы единственности во всей области G. Теорема доказана.

Следствие. Если две голоморфные в области G функции и совпадают на множестве, имеющем точку сгущения внутри G, то они совпадают во всей G.

Для доказательства нужно применить предыдущую теорему к функции .