Контрольные по математике | Вопросы по матлогике | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Вопросы по матлогике


ВОПРОСЫ 16-18

МЕТОДЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ

При доказательстве теорем применяется логическая аргументация. Доказательства в информатике — неотъемлемая часть проверки корректности алгоритмов. Необходимость доказательства возника­ет, когда нам нужно установить истинность высказывания вида (Р => Q). Существует несколько стандартных типов доказательств, включающих следующие:

Прямое рассуждение (импликация). Предполагаем, что высказывание Р ис­тинно и показываем справедливость Q. Такой способ доказатель­ства исключает ситуацию, когда Р истинно, a Q — ложно, посколь­ку именно в этом и только в этом случае импликация (Р => Q) принимает ложное значение.

Пример 1. Покажите прямым способом рассуждений, что про­изведение ху двух нечетных целых чисел х и у всегда нечетно.

Решение. Прежде всего заметим, что любое нечетное число, и в частности х, можно записать в виде х = + 1, где т — целое число. Аналогично, у = 2п + 1 с некоторым целым п.

Значит, произведение

ху = (2т + 1)(2 п + 1) = 4 тп + + 2п + 1 = 2(2 тп + т + п) + 1 тоже является нечетным числом.

Таблица истинности импликации

Р

Q

(P=>Q)

И

И

И

И

Л

Л

Л

И

И

Л

Л

И

Обратное рассуждение(контрапозиция). Предполагаем, что высказывание Q ложно и показываем ошибочность Р. То есть, фактически, прямым способом проверяем истинность импликации ((не Q) => (не Р)), что логически эквивалентно истинности ис­ходного утверждения (Р => Q).

Пример 2. Пусть п — натуральное число. Покажите, исполь­зуя обратный способ доказательства, что если п2 нечетно, то и п нечетно.

Решение. Отрицанием высказывания о нечетности числа п2 слу­жит утверждение «п2 четно», а высказывание о четности п явля­ется отрицанием утверждения «число п нечетно». Таким образом, нам нужно показать прямым способом рассуждений, что четность числа п влечет четность его квадрата п2.

Так как п четно, то n = для какого-то целого числа т. Сле­довательно, п2 = 4m2 = 2(2m2) — четное число.

Метод «от противного» (reduction ad absurdus). Предположив, что высказывание Р истинно, a Q ложно, используя аргументированное рассуждение, по­лучаем противоречие. Этот способ опять-таки основан на том, что импликация (Р => Q) принимает ложное значение только тогда, ко­гда Р истинно, a Q ложно.

Пример 3. Доказательство иррациональности числа Описание: sqrt{2}

Решение.

Допустим противное: Описание: sqrt{2}рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби Описание: frac{m}{n}, где Описание: mи Описание: n — целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

Описание: sqrt{2} = frac{m}{n} Rightarrow 2 = frac{m^2}{n^2} Rightarrow m^2 = 2n^2.

Отсюда следует, что Описание: m^2чётно, значит, чётно и Описание: m; следовательно, Описание: m^2делится на 4, а значит, Описание: n^2и Описание: nтоже чётны. Полученное утверждение противоречит несократимости дроби Описание: frac{m}{n}. Значит, исходное предположение было неверным, и Описание: sqrt{2} — иррациональное число.

ВОПРОС 19

Полные системы связок.

Системой связок называется набор базовых функций рассматриваемой алгебры (сигнатура).

Система связок является полной, если любая n-арная булева функция может быть записана в виде пропозициональной формулы с использованием только связок входящих в эту систему.

Примеры полных систем связок:

·  Система (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция) является полной.
·  Система (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция) является полной. Именно она и составляет сигнатуру Булевой Алгебры.
·  Система связок (отрицание, импликация)
·  Система штрих Шеффера, И-НЕ является важной для микроэлектроники
·  Система (сумма по модулю 2, конъюнкция) — система Жегалкина
Критерий Поста:
Набор булевых функций является полным тогда и только тогда, когда он не содержится целиком ни в одном из пяти следующих классов:
1. монотонные функции;
2. функции, сохраняющие нуль;
3. функции, сохраняющие единицу;
4. линейные функции;
5. самодвойственные функции.
Если набор содержится в одном из классов, то и все композиции также не выходят за пределы этого класса (легко проверить для каждого из классов в отдельности) и поэтому набор не является полным.

Система A = {, &, } является полной.

Доказательство. Если функция алгебры логики f отлична от тождественного нуля, то f выражается в виде совершенной дизъюнктивной нормальной формы, в которую входят лишь дизъюнкция, конъюнкция и отрицание. Если же f ≡ 0, то f = x ⋅ x. Теорема доказана.

ВОПРОСЫ 20 — 22

ДНФ

Пусть p1,p2,p3…pn — простые высказывания. Назовем выражение x1˄x2˄x3˄…˄xn, в котором хi = рi или хi = ~рi, элементарной конъюнкцией. Выражение, представляющее собой дизъюнкцию элементарных конъюнкций, называется дизъюнктивной нормальной формой, так что если m1,m2,m3…mn есть элементарные конъюнкции, тогда m1˅m2˅m3˅…˅mn есть дизъюнктивная нормальная форма.

КНФ

Пусть p1,p2,p3…pn — простые высказывания. Назовем выражение x1˅x2˅x3˅…˅xn, в котором хi = рi или хi = ~рi, элементарной дизъюнкцией. Выражение, представляющее собой конъюнкцию элементарных дизъюнкций, называется конъюнктивной нормальной формой, так что если m1,m2,m3…mn — элементарные дизъюнкции, то m1˄m2˄m3˄…˄mn есть конъюнктивная нормальная форма.

Полнота ДНФ, КНФ:

Согласно критерию Поста система булевых функций полна тогда и только тогда, когда она не содержится целиком ни в одном из классов Описание: T_0, Описание: T_1, Описание: S, Описание: M, Описание: L. Широко известны такие полные системы булевых функций:

    Описание: left{land,lor,negright}(конъюнкция, дизъюнкция, отрицание); Описание: left{land,oplus,1right}(конъюнкция, сложение по модулю два, константа один).

Первая система используется, например, для представления функций в виде дизъюнктивных и конъюнктивных нормальных форм, вторая — для представления в виде полиномов Жегалкина. Любую булеву функцию можно представить в виде ДНФ или КНФ.

Рассмотрим два способа построения ДНФ и КНФ:

Способ 1. (Метод эквивалентных преобразований). Пусть булева

функция f ( x1 , x 2 , … , x n ) задана формулой. Алгоритм построения ДНФ и

КНФ состоит в следующем:

Шаг 1. Формулу преобразовать так, чтобы в ней были только операции Описание: left{land,lor,negright}.

Шаг 2. Добиться с помощью законов де Моргана, чтобы знак отрицания стоял лишь над отдельными переменными.

Шаг 3. Раскрыть скобки по 1-му дистрибутивному закону A( B Ú C ) = AB Ú AC при построении ДНФ и по 2-му дистрибутивному закону A ˄ BC = ( A ˄ B )( A ˄ C ) при построении КНФ.

Способ 2. (С использованием таблицы истинности).

Пусть функция f ( x1 , x 2 , … , x n ) задана таблицей истинности.

Для ДНФ:

Шаг 1. Выделить в таблице истинности все наборы переменных, на которых функция принимает единичные значения.

Шаг 2. Для каждого выбранного набора записать элементарные конъюнкции, содержащие без инверсии переменные, принимающие в соответствующем наборе значение 1 и с инверсией —

переменные, принимающие значение 0.

Шаг 3. Соединить элементарные конъюнкции знаком дизъюнкции.

Для КНФ:

Шаг 1. Выделить в таблице истинности все наборы переменных, на которых функция принимает нулевые значения.

Шаг 2. Для каждого выбранного набора записать элементарные дизъюнкции, содержащие без инверсии переменные, принимающие в соответствующем наборе значение 0 и с инверсией — переменные, принимающие значение 1.

Шаг 3. Соединить элементарные дизъюнкции знаком конъюнкции.

Полином Жегалкина — полином с коэффициентами вида 0 и 1, где в качестве произведения берётся конъюнкция, а в качестве сложения исключающее или. Полином был предложен в 1927 году И. И. Жегалкиным в качестве удобного средства для представления функций булевой логики. Полином Жегалкина имеет следующий вид:

f(x, y,z) = (y & z) Описание: http://psi-logic.narod.ru/img/xor.gif(x & z) Описание: http://psi-logic.narod.ru/img/xor.gifx Описание: http://psi-logic.narod.ru/img/xor.gif(x & y & z), где

1.  x Описание: Image y = y Описание: Image x;

2.  x ( y Описание: Image z )  =  x y Описание: Image x z;

3.  x Описание: Image x = 0; 

4.  x Описание: Image Описание: Image = 1; 

5.  x Описание: Image 0 = x.

Полнота ДНФ, КНФ и полинома Жегалкина:

По теореме Поста, чтобы система булевых функций была полной, надо, чтобы в ней существовали

Хотя бы одна функция, не сохраняющая 0; Хотя бы одна функция, не сохраняющая 1; Хотя бы одна нелинейная функция; Хотя бы одна немонотонная функция; Хотя бы одна несамодвойственная функция.

Исходя из этого, система функций Описание: bigllangle wedge, oplus, 1 bigrrangleявляется полной, так как в ней:

Не сохраняет 0: Описание: 1; Не сохраняет 1: Описание: oplus; Нелинейна: Описание: wedge; Немонотонна: Описание: oplus;

Рассмотрим два метода построения полинома Жегалкина:

Метод неопределённых коэффициентов

Построить таблицу истинности для данной булевой функции. Записать общий вид полинома Жегалкина для этой функции. Это сумма по модулю два сочетаний переменных длиной от 0 до количества переменных с неопределённым коэффициентом. Элементы в слагаемых соединены конъюнкцией. В таблице напротив каждого набора значений переменных записать сумму по модулю два коэффициентов по следующим правилам:

    свободный коэффициент присутствует всегда; остальные коэффициенты есть в сумме тогда, когда все их переменные равны 1 в данном наборе значений.

Приравнять каждую сумму коэффициентов к значению функции от соответствующего набора. Решить получившуюся систему линейных уравнений подстановкой. Подставить получившиеся коэффициенты в полином и упростить его.

Метод преобразований

Построить СДНФ булевой функции. Заменить дизъюнкцию в полученной СДНФ на сложение по модулю два. Сделать замену: Описание: bar x_i = x_i oplus 1. Раскрыть скобки, пользуясь дистрибутивностью конъюнкции относительно сложения по модулю два: Описание: A (B oplus C) = AB oplus AC. Сократить лишние сомножители и слагаемые, пользуясь эквивалентностями:

    Описание: x cdot x = x; Описание: x cdot 1 = x; Описание: x oplus x = 0; Описание: x oplus 0 = x.

ВОПРОС 23

Карты Карно — это графическое представление операций попарного неполного склеивания и элементарного поглощения.

Карты Карно рассматриваются как перестроенная соответствующим образом таблица истинности функции. Карты Карно — определенная плоская развертка n-мерного булева куба.

Строится таблица истинности функции определенным образом. Каждая клетка таблицы соответствует вполне определенной вершине булева куба. Нулевые значения не записываются. Если высказыванию соответствует карта Карно с двумя соседствующими в строке или в столбце х, тогда выражение можно упростить, сведя две элементарные конъюнкции к одной, содержащей на одну компоненту.

Перечислим четыре последовательных шага при использовании карты Карно:

1. Для каждой элементарной конъюнкции обозначьте на карте соответствую —

щий прямоугольник.

2. Покройте знаки, используя, по возможности, несколько прямоугольных бло —

ков.

3. Используйте блоки, максимальные по величине, не меняя числа блоков.

4. Оцените блоки с соответствующими высказываниями, которые описывают

их, и объедините эти высказывания символом V.

Карта Карно для 2х переменных

Описание: http://3.bp.blogspot.com/-2ozQNmhWGMI/TnTM7_PDNVI/AAAAAAAAAVc/kYiexxllCtk/s1600/2011-09-17_193734.jpg

таблица состояний (истинностей)

Описание: http://1.bp.blogspot.com/-hZlqkcH1JO0/TnTOHJM4txI/AAAAAAAAAVk/s2WdpsHme1s/s1600/2011-09-17_194157.jpg

ДНФ для таблицы состояний приложенной слева

Карта Карно для 2х переменных

Количество клеток 2^n (2 в степени n), где n количество входных переменных т. е. 2^2 = 4.

Описание: http://4.bp.blogspot.com/-FzZ3_yUIScA/TnTLsa1HNlI/AAAAAAAAAVY/JW2vLZ7BppE/s1600/2011-09-17_193230.jpg

  Координаты клеток карты Карно расставить таким образом, чтобы координаты соседних клеток отличались на одну переменную.
На основании ДНФ в клетки карты расставляются единицы, каждое слагаемое ДНФ это координата клетки. Единицы находящиеся в соседних клетках объясняются в группы, количество единиц в каждой группе должно быть кратно 2^n, n-любое натуральное число.
  Каждая группа единиц дает слагаемое равное произведению тех иксов в поле которых эта группа находится целиком.
Получаем

Описание: http://4.bp.blogspot.com/-9Mv5KfRJyAY/TnTSQhSM8pI/AAAAAAAAAVs/Q2Ojj97OVI4/2011-09-17_200000.jpg

СДНФ — Совершенная Дизъюнктивная Нормальная Форма

Карта Карно для 3х переменных

Карта строится таким же образом как и для 2х переменных,  поэтому надо сначала прочитать для 2х переменных

Описание: http://2.bp.blogspot.com/-hubVkyDp8Oc/TnXbdH-59kI/AAAAAAAAAWA/LpHSiNtA0C0/s1600/2011-09-18_145159.jpg

таблица истинностей 

Описание: http://1.bp.blogspot.com/-xMMiPGsjolo/TnXcPzRu3OI/AAAAAAAAAWE/VjkALx6dqS4/s1600/2011-09-18_145525.jpg

ДНФ для данной таблицы истинностей 

Описание: http://2.bp.blogspot.com/-3GO-gkmT64Q/TnXfzM5AVMI/AAAAAAAAAWI/YYnBmn4Cj0w/s1600/2011-09-18_151030.jpg

карта для 3х переменных

Записываем координаты наших групп. Получаем:

Описание: http://3.bp.blogspot.com/-AzPz01zh6gs/TnXg1T4IX5I/AAAAAAAAAWQ/gmw7RIlLtrY/s1600/2011-09-18_151356.jpg

СДНФ

Карта Карно для 4х переменных

Строятся так по таким же правилам как и для 2х и 3х переменных

Описание: http://1.bp.blogspot.com/-Uf9AMSyAlCU/TnYQ4DvvOuI/AAAAAAAAAWU/cZRxQWuPbmg/s1600/2011-09-18_183953.jpg

Таблица истинностей

По данной таблице составляем ДНФ

Описание: http://4.bp.blogspot.com/-McFEkC8tGak/TnYSEP5sNKI/AAAAAAAAAWY/IS7v4oYJiEg/s1600/2011-09-18_184500.jpg

ДНФ

Далее все по аналогии как в картах Карно для 2х и 3х переменных.

Описание: http://2.bp.blogspot.com/-hM4HgOHbt0Q/TnYSbVIlprI/AAAAAAAAAWc/3vLLcV6A6pI/s1600/2011-09-18_183355.jpg

Карта Карно для 4х переменных

Записываем координаты получившихся групп, получаем СДНФ

Описание: http://1.bp.blogspot.com/-OYEWF1YrPA4/TnYSu7C0iMI/AAAAAAAAAWg/vPPVN5jjfSE/s1600/2011-09-18_184758.jpg

СДНФ

Примеры объединения групп 

 

Описание: http://3.bp.blogspot.com/-dmSLOqotxsE/TnYUahyMTjI/AAAAAAAAAWk/ccoiVJ8x1kg/s1600/1.jpg

Описание: http://3.bp.blogspot.com/-9n7sfIErJUc/TnYUb5CUOhI/AAAAAAAAAWo/ptClRass1B8/s1600/23.jpg

ВОПРОСЫ 24 — 25

ПРЕДИКАТЫ И КВАНТОРЫ

Понятие предиката

Предикатом называется утверждение, содержащее переменные, принимающее значение истины или лжи в зависимости от значений переменных. Например, выражение «х — целое число, удовлетворя­ющее соотношению х = х2» является предикатом, поскольку оно истинно при х = 0 или х = 1 и ложно в любом другом случае.

Действия с предикатами

Логические операции можно применять и к предикатам. В общем случае истинность составного предиката в конечном счете зависит от значений входящих в него переменных. Однако существуют кванторы, применение которых к предикатам превращает последние в ложные или истинные высказывания.

Примеры

Пример 1 Какие из следующих высказываний истинны, а какие ложны?

(а) Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°. (Истинно.)

(б) У всех кошек есть хвост. (Ложно. У бесхвостой1 кошки хвоста нет.)

(в) Найдется целое число х, удовлетворяющее соотношению х2 = 2. (Ложно.)

(г) Существует простое четное число. (Истинно. Число 2 является и простым, и четным.)

Ква́нтор — общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката и создающих высказывание. Чаще всего упоминают:

    Квантор всеобщности (обозначение: Описание: forall, читается: «для всех…», «для каждого…» или «каждый…», «любой…», «для любого…»). Квантор существования (обозначение: Описание: exists, читается: «существует…» или «найдётся…»).

В математической логике приписывание квантора к формуле называется связыванием или квантификацией.

В примере 1 мы имеем дело с набором объектов и утвержде­ниями о том, что некоторое свойство имеет место для всех рассма­триваемых объектов, или что найдется (существует) по крайней мере один объект, обладающий данным свойством. Выражения «для всех» и «найдется» («существует») называют­ся кванторами и обозначаются, соответственно, Описание: forall и Описание: exists. Включая в предикат кванторы, мы превращаем его в высказывание.

Построение утверждения:

Пример 2 Предположим, что х и у — вещественные числа, а Р(х, у) обозначает предикат х + у = 0.

(а) Высказывание Описание: forallxОписание: existsу: Р(х, у) говорит о том, что для любого вещественного числа х найдется такое вещественное число у, что х + у = 0. Оно, очевидно, верно, поскольку какое бы число х мы ни взяли, число у = — х обращает равенство х + у = 0 в верное тождество.

(б) Высказывание Описание: existsу : Описание: forallх Р(х, у) читается следующим образом: существует такое вещественное число у, что для любого веще­ственного числа х выполнено равенство х + у = 0. Это, конеч­но, не так: не существует вещественного числа у, обладающего указанным свойством. Следовательно, высказывание ложно.

Построение отрицания

Правило отрицания кванторов  применяется для построения отрицаний высказываний, содержащих кванторы, и имеет вид:

Описание: lnot (forall x)P(x) = (exists x) lnot P(x)
Описание: lnot (exists x)P(x) = (forall x) lnot P(x)

Пример 3

Пусть Р(х) — предикат: «х — вещественное число и х2 + 1 = 0». Отрицание данного высказывания записывается в следую­щем виде: не Описание: existsх : Р(х). Это, естественно, истинное высказывание, которое означает, что не существует вещественного числа х, удо­влетворяющего условию х2 + 1 = 0. Иными словами, каково бы ни было вещественное х, х2 + 1 0. В символьной форме это можно записать как Описание: forallx не Р(х).

ВОПРОСЫ 26 – 27

Принцип математической индукции

Пусть Р(n) есть такое утверждение, что

а) Р(1) истинно, и

б) для каждого k, если Р(k) истинно, то Р(k + 1) истинно.

Тогда Р(n) истинно для любого целого положительного числа n. В символической записи принцип математической индукции имеет вид:

(Р(1) ˄ ((Описание: forallk) Р(k) → Р(k + 1)) → (Описание: foralln) P(n).

Примеры:

Применяя метод математической индукции, доказать, что для любого натурального n справедливы следующие равенства:

а)
 б)
Описание: http://www.pm298.ru/reshenie/Math/z011833.JPGОписание: http://www.pm298.ru/reshenie/Math/z021833.JPG; Описание: http://www.pm298.ru/reshenie/Math/z011834.JPGОписание: http://www.pm298.ru/reshenie/Math/z021834.JPG.

Решение.

а) При n = 1 равенство справедливо. Предполагая справедливость равенства при n, покажем справедливость его и при n + 1. Действительно,

Описание: http://www.pm298.ru/reshenie/Math/z011835.JPGОписание: http://www.pm298.ru/reshenie/Math/z021835.JPGОписание: http://www.pm298.ru/reshenie/Math/z031835.JPGОписание: http://www.pm298.ru/reshenie/Math/z041835.JPGОписание: http://www.pm298.ru/reshenie/Math/z051835.JPG

что и требовалось доказать.

б) При n = 1 справедливость равенства очевидна. Из предположения справедливости его при n следует

Описание: http://www.pm298.ru/reshenie/Math/z011836.JPGОписание: http://www.pm298.ru/reshenie/Math/z021836.JPGОписание: http://www.pm298.ru/reshenie/Math/z031836.JPGОписание: http://www.pm298.ru/reshenie/Math/z041836.JPG

Описание: http://www.pm298.ru/reshenie/Math/z011837.JPGОписание: http://www.pm298.ru/reshenie/Math/z021837.JPGОписание: http://www.pm298.ru/reshenie/Math/z031837.JPGОписание: http://www.pm298.ru/reshenie/Math/z041837.JPG

Учитывая равенство 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2, получаем

13 + 23 + … + n3 + (n + 1)3 = (1 + 2 + … + n + (n + 1))2,

т. е. утверждение справедливо и при n + 1.

Принцип наименьшего числа

Принцип наименьшего числа формулируется так: в любом непустом (а не только в конечном!) множестве натуральных чисел существует наименьшее число.

Вторая формулировка принципа наименьшего числа: не существует бесконечной убывающей (то есть такой, в которой каждый последующий член меньше предыдущего) последовательности натуральных чисел.

Эти две формулировки принципа наименьшего числа равносильны. В самом деле, если бы существовала бесконечная убывающая последовательность натуральных чисел, то среди членов этой последовательности не существовало бы наименьшего. Теперь представим себе, что удалось найти множество натуральных чисел, в котором наименьшее число отсутствует. Тогда для любого элемента этого множества найдётся другой, меньший элемент, а для него ещё меньший, и так далее, так что возникает бесконечная убывающая последовательность натуральных чисел.

ТЕОРЕМА Если множество целых чисел имеет наименьшее целое число, то такое число единственно.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим, что числа а и b оба являются наименьшими эле­ментами множества А. По определению наименьшего элемента a < b и b < а. Следовательно, а=b.

Теперь сформулируем два утверждения, эквивалентные принципу индукции.

(N5) (Принцип полного упорядочения) Каждое непустое множество положи­тельных целых чисел содержит наименьший элемент.

(N6) (Второй принцип индукции) Пусть Р(n) — утверждение. Если

а) Р(1) истинно, и

б) для произвольного к из истинности Р(m) для всех m < k следует истинность P(k),

то Р(n) истинно для всех положительных целых чисел n.

Математическая индукция

Утверждение может быть справедливым в целом ряде частных случаев и в то же время несправедливым вообще.

Возникает вопрос: пусть есть утверждение, справедливое в нескольких частных случаях. Все частные случаи рассмотреть невозможно. Как же узнать, справедливо ли

Этот вопрос иногда удается решить применением особого метода рассуждений, называемого методом математической индукции.

Принцип математической индукции

В основе этого метода лежит принцип математической индукции, заключающийся в следующем:

Утверждение справедливо для всякого натурального n, если:

1) оно справедливо для п= 1 и

2) из справедливости утверждения для какого-

либо произвольного натурального п = к следует его справедливость для n=k+1.

Доказательство принципа мат. индукции

Доказательство. Предположим противное, т. е. предположим, что утверждение справедливо не для всякого натурального п. Тогда существует такое натуральное т, что

1.  утверждение для п= т несправедливо,

2.  для всякого п, меньшего т, утверждение справедливо (иными словами, т есть первое натуральное число, для которого утверждение несправедливо).

Очевидно, что т > 1, так как для n=1 утверждение справедливо (условие 1). Следовательно, т натуральное число. Выходит, что для натурального числа т-1 утверждение справедливо, а для следующего натурального числа т оно несправедливо. Это противоречит условию 2.

Принцип мат. индукции как аксиома

При доказательстве принципа математической индукции мы пользовались тем, что в любой совокупности натуральных чисел содержится наименьшее число. Это свойство в свою очередь можно вывести как следствие из принципа математической индукции.

Таким образом, оба эти предложения равносильны. Любое из них можно принять за одну из аксиом, определяющих натуральный ряд, тогда другое будет теоремой.

Обычно за аксиому принимают как раз сам принцип математической индукции.

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод