Вопросы для подготовки к экзамену по тфкп

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ:

«Теория функций комплексного переменного»

1. Комплексное число как оператор. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.

2. Действия с комплексными числами.

3. Функции комплексного переменного. Предел функции комплексного переменного.

4. Непрерывность функции комплексного переменного. Свойства непрерывных функций комплексного переменного.

5. Дифференцируемость и аналитичность функции комплексного переменного. Условия Коши – Римана ( теорема 1).

6. Геометрический смысл аргумента и модуля производной функции комплексного переменного.

7. Гармонические функции. Свойства гармонических функций.

8. Линейная функция и ее свойства. Степенная функция и ее свойства.

9. Показательная функция и ее свойства. Логарифмическая функция и ее свойства.

10. Тригонометрические функции и их свойства.

11. Обратные тригонометрические функции: Arcsin z, Arccos z, Arctg z, Arcctg z.

12. Интеграл от функции комплексного переменного. Свойства интегралов от функций комплексного переменного.

13. Теорема Коши (теорема 2). Следствие.

14. Теорема об интеграле как функции верхнего предела интегрирования (теорема 3).

15. Теорема о первообразных функции комплексного переменного (теорема 4).

16. Формула Ньютона – Лейбница (теорема 5).

17. Интегральная формула Коши (теорема 6). Теорема о среднем (теорема 7).

18. Лемма об условиях постоянства функции комплексного переменного.

19. Принцип максимума модуля функции комплексного переменного (теорема 8).

20. Лемма Шварца.

21. Равномерная сходимость функции комплексного переменного. Теорема о непрерывности суммы функционального ряда равномерно сходящихся функций (теорема 9).

22. Равномерная сходимость функции комплексного переменного. Теорема о возможности почленного интегрирования функционального ряда равномерно сходящихся функций (теорема 10).

23. Обобщенная интегральная формула Коши (теорема 11). Следствие (неравенства Коши).

24. Теорема Лиувилля (теорема 12). Теорема Морера (теорема 13).

25. Степенные ряды. Теорема Вейерштрасса (теорема 14).

26. Теорема о дифференцировании функционального ряда (теорема 15).

27. Теорема о круге сходимости степенного ряда (теорема 16).

28. Теорема Абеля (теорема 17).

29. Теорема об аналитичности суммы степенного ряда (теорема 18).

30. Ряд Тейлора. Теорема существования разложения функции комплексного переменного в ряд Тейлора (теорема 19).

31. Теорема о круге сходимости ряда Тейлора (теорема 20).

32. Теорема единственности разложения функции комплексного переменного в ряд Тейлора (теорема 21).

33. Нули функции комплексного переменного. Теорема о единственности нуля функции комплексного переменного (теорема 22).

34. Ряд Лорана. Теорема существования разложения функции комплексного переменного в ряд Лорана (теорема 23).

35. Теорема о кольце сходимости ряда Лорана и единственности разложения функции комплексного переменного в ряд Лорана (теорема 24).

36. Неравенство Коши для коэффициентов ряда Лорана (теорема 25).

37. Изолированные особые точки функции комплексного переменного. Классификация изолированных особых точек функции комплексного переменного.

38. Необходимое и достаточное условия существования устранимой изолированной особой точки функции комплексного переменного (теорема 26) .

39. Необходимое и достаточное условия существования полюса функции комплексного переменного (теорема 27).

40. Бесконечно удаленная точка.

41. Вычеты. Нахождение вычетов в изолированных особых точках.

42. Теорема Коши о вычетах (теорема 29). Следствие.

43. Конформные отображения. Дробно-линейное отображение. Свойства дробно-линейных отображений.

44. Частные случаи дробно-линейных отображений.

45. Преобразование Лапласа. Свойства оригиналов и изображений.

46. Первая теорема разложения (теорема 31).

47. Теорема существования оригинала (теорема 30). Лемма Жордана. Вторая теорема разложения (теорема 32).

48. Применение преобразования Лапласа для решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.