Учебные материалы по математике | Вещественное евклидово пространство | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Вещественное евклидово пространство


Проверим,

0.5 +0.5 +0.5 = — это действительно вектор с1

Вещественное евклидово пространство.

Линейное пространство называется евклидовым, если в нём задано скалярное умножение, т. е. закон по которому каждой паре элементов x и y сопоставляется вещественное число (x,y) и при этом выполняются следующие условия:

1) (x, y) = (y, x)

2) (x+z, y) = (x, y) + (z, y)

3)(l x, y) = l (x, y)

4) (x, x)³0, (x, x) = 0 Û x=0

Примеры:

1) линейное арифметическое пространство является евклидовым Rn, (x, y)=

2) C[0, 1} (f(x), g(x))=

Лекция 13

Теорема 3 Неравенство Коши-Буняковского.

(x, y) £

Доказательство: при x=0 очевидно,

( lx-y, lx-y) ³ 0

l (x, lx-y)-(y, lx-y) ³ 0

l2(x, x)- l(x, y)- l(x, y)+(y, y) ³ 0

l2(x, x) — 2l(x, y) + (y, y) ³ 0 — это квадратный трехчлен относительно l. Найдём дискриминант по сокращённой формуле d=(x, y)2 –(x, y)(y, y)

Так как трёхчлен ³ 0,Þ d£ 0 Þ (x, y)2 –(x, y)(y, y) £ 0Þ

(x, y) £

Обобщением понятия длины вектора в линейном пространстве является норма.

Норма это функция, которая каждому элементу ставит в соответствие действительное число, удовлетворяющее следующим условиям:

1)  ³0 для "x; =0 Ûx=0

2) =|l|

3) £+ — неравенство треугольника.

Линейное пространство, в котором задана норма, называется нормированным.

Линейные пространства

Евклидовы пространства Нормированные пространства

Теорема 4 Евклидова норма.

В евклидовом пространстве можно задать норму следующим образом: =

Доказательство:

1)  (x, x)³ 0 Þ всегда определено и ³ 0,

причём ((x, x)=0Û x=0 )Þ(=0Û x=0)

2)  (lx, lx)= l(x, lx)= l2 (x, x) Þ= =|l| = |l|

3)  2=(x+y, x+y)=(x, x)+2(x, y)+(y, y)=

=2+2+2(x, y2+2+2=(+)2 Þ£+

Скругленная прямоугольная выноска: См. неравенство
Коши-Буняковского

 

Множество элементов с единичной нормой называется единичной сферой.

Норма может вводиться не только через скалярное произведение, но и другими способами.

Примеры:

1)  =++…+ — сумма модулей координат. Эта норма называется l1-нормой.

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод