Учебные материалы по математике | Вещественное евклидово пространство

Проверим,

0.5 +0.5 +0.5 = — это действительно вектор с1

Вещественное евклидово пространство.

Линейное пространство называется евклидовым, если в нём задано скалярное умножение, т. е. закон по которому каждой паре элементов x и y сопоставляется вещественное число (x,y) и при этом выполняются следующие условия:

1) (x, y) = (y, x)

2) (x+z, y) = (x, y) + (z, y)

3)(l x, y) = l (x, y)

4) (x, x)³0, (x, x) = 0 Û x=0

Примеры:

1) линейное арифметическое пространство является евклидовым Rn, (x, y)=

2) C[0, 1} (f(x), g(x))=

Лекция 13

Теорема 3 Неравенство Коши-Буняковского.

(x, y) £

Доказательство: при x=0 очевидно,

( lx-y, lx-y) ³ 0

l (x, lx-y)-(y, lx-y) ³ 0

l2(x, x)- l(x, y)- l(x, y)+(y, y) ³ 0

l2(x, x) — 2l(x, y) + (y, y) ³ 0 — это квадратный трехчлен относительно l. Найдём дискриминант по сокращённой формуле d=(x, y)2 –(x, y)(y, y)

Так как трёхчлен ³ 0,Þ d£ 0 Þ (x, y)2 –(x, y)(y, y) £ 0Þ

(x, y) £

Обобщением понятия длины вектора в линейном пространстве является норма.

Норма это функция, которая каждому элементу ставит в соответствие действительное число, удовлетворяющее следующим условиям:

1) ³0 для "x; =0 Ûx=0

2) =|l|

3) £+ — неравенство треугольника.

Линейное пространство, в котором задана норма, называется нормированным.

Линейные пространства

Евклидовы пространства Нормированные пространства

Теорема 4 Евклидова норма.

В евклидовом пространстве можно задать норму следующим образом: =

Доказательство:

1) (x, x)³ 0 Þ всегда определено и ³ 0,

причём ((x, x)=0Û x=0 )Þ(=0Û x=0)

2) (lx, lx)= l(x, lx)= l2 (x, x) Þ= =|l| = |l|

3) 2=(x+y, x+y)=(x, x)+2(x, y)+(y, y)=

=2+2+2(x, y)£ 2+2+2=(+)2 Þ£+

Множество элементов с единичной нормой называется единичной сферой.

Норма может вводиться не только через скалярное произведение, но и другими способами.

Примеры:

1) =++…+ — сумма модулей координат. Эта норма называется l1-нормой.

Вещественное евклидово пространство

Наташа

Узнать стоимость за 15 минут

Распродажа дипломных

Подпишись на наш паблик в ВК

Нужна работа?