Векторное произведение неколлинеарных векторов

Свойства скалярного произведения

1 Скаляр произв векторов СПВ подчиняется переместительному закону |ав|=|а|*|в|cos g; |ав|=|в|*|а|cos g

2 СПВ подчиняется сичитат закону относит скалярного множителя, т. е (лямбда, в)=лямбда(а, в)

3 СПВ подчин распределит закону, а(в=с)=а*в+а*с

4 Квадрат вектора равен квадрату ео модуля, т.е (а)2=(аа)=|а||а|cos0=|а||а|1= |а|2

Векторное произведение не коллинеарн векторов

Наз вектор с длина которого равна площади параллелограмма постороенного на вект а и в который перпендик плоскости этого параллелограмма и направлены так что смотреть с его конца то ближайший поворот от а к в происходит против часовой стрелки. Если а и в колинеарны их вектр произвед наз нулевой вектор. Обознач вект произвед [а, в], а ×в. Из опред с это результат вектр умножения 2 векторов с=[а, в], то |с|=|а|*|в|*sing. Если векторно умножить в на а то получится вектор [ва] = по модулю [а, в] но направлен в провотиположную сторону, т. е [а, в]=- [ва], если векторы коллинеарны то их произвед =0

Св-ва: Для любых векторов а и в ВП= [а, в]=- [ва],т. е подчиняется переместит закону

2 ВП подчиняется сочитательному закону относит скалярного множителя [лямбда а, в]=лямбда[а, в]; [а лямбда в]=лямбда[а, в]

3 ВП подчиняется распределит закону [а(в+с)]= [ав]+[ас]

Линейные зависимые и не зависимые векторы

Пусть дана система n-векторов а1,а2….аn-1,аn (n≥2) Система векторов наз линейно завис если существ такие числа к1,к2….кn-1,кn, хотя бы одно из которых отлчно от 0 что имеет место равенство к1а1=к2а2=….кnаn=0 Линейно не завис в противном случае. Система векторов а1,а2….аn где ( n≥2) наз линейно зависимойесли хотя бы 1 из этих векторов явл линейной комбинацией остальных векторов системы и линейно-не завис в противном случае.

Сложение векторов

Суммой векторов а и в наз такой вектор с начало которого совпад с началом вект а, а конец с концом вект в, при условии что нач вект в приложено к концу вект а.

Св-ва; слож вект подчин перемест закону а+в=в+а

Слож вект подчин сочетат закону (а+в)+с=а+(в+с)

Вычитание векторов

Разностью векторов а и в наз вект с для которого с+а-в=а+(-в). Для геом построения вект разности с=а-в, можно поступить 1 из 2 способов.

Проекции векторов

Проекция МР на ось наз велич отрезка М, Р где М — это проекция нач вект, Р-проекция конца вект на эту ось. Проекцию вект принято обознач а’

Проекц вект на оь = произвед модуля вектора на cos угла наклона вектора к оси а’=|а|cosq

Проекц суммы векторов на ось = сумма проекций слогаемых векторов на эту же ось

Основные понятия и опред матричной алгебры

Матрица – это прямоугольный массив чисел располож по строкам и столбцам. Матрицы служат для представления численных данных в удобном для матем обработки форме. В общем виде матрица запис след образом:

Аij – элемент матр; i строка, jстолбец

Размеренность А-кол-во строк и столбцов (Аm×n) Если кол-во строк и столбцов = то А-квадратня порядка n Квадр А порядка n будет наз единичной если все элем глав диаг =1 а все элементы вне диаг =0

Диагональной А наз квадр А в которой все элем не наход на глав диаг=0, А все элементы которой явля 0, наз нулевой, обозн Оn, А сост из 1 элем есть просто число, А сост из 1 строки наз вектором строкой, А сост из столбца часто для удобства запис из строки.

Сложение, Вычитание матриц

Суммой 2 матриц А и В имеющ соотв равные кол-ва строк и столбцов наз матрица элементы которой равняются сумме соотв элементов матриц А и В.

Св-ва: сложение подчиняется переместит закону А+В=В+А

Сложение подчиняется сочитат закону А+(В+С)=(А+В)+С

А+0=0+а=А нулевая

Вычитание: Разность 2 матриц опред формулой А-В=А+(-В). Т. о А-В есть С где элемент С есть разница элементов стоящих на одинаковых местах

Умножение матриц на число

Произведение числа к на матрицу А или наоборот наз матрица которая возникает из матрицы путем умнож всех ее элементов на число к

Св-ва: если мы умнож 1 на А получим А

0А=А*0=0 нулевая

Переместит закон

А(-1)=-А

А+(-А)=0 нулевая

(-К)А=-(КА)

-(А+В)=А-В

Умножение матрицы на матрицу

Умножать можно только те матрицы для которых число столбцов первого сомнож равно числу строк второго. Результатом умножения явл матрица укоторой число строк равно числу строк 1 а число столбцов совпад с числ 2.

Св-ва умножения матриц

АВ не равно ВА не подчин перемест закону

АЕ=ЕА=А

Произвед матр подчиняется сочитат закону А(ВС)=(АВ)С

Произвед матриц подчин распред закону (А+В)=АС+ВС

Протзвед 2 матриц м. б нулевой А хотя не один из сомножителей не есть нулевой А

Трансформированная матрица

А’которую получ из матр А заменяя строки на столбцы, а столбцы на строки наз трансформиванной матр и обознач А’А=[а11,а12….а1n] есть столбец А'[а11 а12, а1n] и наоборот.

Св-ва: ТР-ая А с суммой двух А = сумме тр-ых матриц слогаемых (А+В)’=А’+В’

Тр-ая матрица, произвед 2 матриц= произвед тр-ых матриц перемнож в обратной последоват (АВ)’=В’А’

Обратная матрица

Дана квадратная матрица А произвольного n-ого порядка, пусть Е-единич матрица, того же порядка. Квадрат матр Х такая что ХА=АХ=Е, наз матрицей обратной матрице А и обознач А¯¹

Св-ва: матр обратная матрице обрат матр А = матр (А¯¹)¯¹=А

Обрат матр произвед 2 квадр матр одного порядка= произв обрат матр умнож в обратной последовательности (АВ)¯¹=В¯¹А¯¹

Датерминант(определитель)

Значение опред 1 порядка есть число равное его элементу.

Пусть дана матрица 2 порядка необх вычисл определитель.

Определитель = а11*а22-а12*а21

Дана матрица 3 порядка

Вычисление опред n-ого порядка.

Дан опред n-ого порядка. Вычеркиваем в этом определителе произвольную строку и произвольный столбец.

Существ понятие алгебр дополнение Дijэлемента аij определ как число полученное от умножения минора на (-1) в степ i+j.

Существ теорема которая дает возможность найти знач опред любого порядка: Определитель n-ого порядка можно разложить по элементам i строки или jстолбца

Формулы наз формулами Лапласса Эта теорема позволяет свести вычисл опред n-ого порядка к вычисл опред n-1 порядка, n-1 к n-2 и т. д. Квадрат матрица опред которой =0 наз особой матр.

Свойства определителей

Опред не меняется при транспонировании

Если один из столб или строк состоит только из 0 то опред=0

Если 2 столбца или 2 строки опред идентичны то опред=0

Если поменять местами 2 строки или 2 столбца то изменится только знак

Если все элем какой либо строки или столбца содержат общий сомножитель, то его можно вынести за знак определителя

Если к елементам одной строки или столбца опред добавить соотв элем др строки или столбца на одно и тоже число л, то знач опред не изменится

Определитель содерж 2 пропорц строки =0

Опред обрат матрицы=обратному знач опред матрицы |А¯¹|=1/|А|

Союзная матрица

Транспонированная матр, матрр Д наз союзной матрр, матр А и обознач А в степ d

Теорема: если квадр матр А не особая, то произв этой матрицы А и союзной с ней матр = единичной матр умнож на опред матр А; А*А в степ d=|А|*Е

Ранг матрицы

Обознач р(А), наз наиб порядок который могут иметь ее миноры не обращающиеся в ноль.

Минор матрицы – определитель матрици составл из элем данной матрицы, стоящих на пересеч произвольно выделен ее строки и столбца

Треугольные матр

Квадратная матр в которой все элем наход над главной диагональю или под ней наз треугольной матр.

Св-ва: сумма треуг снизу(сверху) матр есть матр треуг снизу(сверху)

Произвед треуг матр снизу(св) есть матр треуг св(сн)

Определитель треуг матр = произвед элементов наход на глав диаг