Устойчивость решений дифференциальных уравнений
в котором коэффициенты p(x) и q(x) являются голоморфными функциями в окрестности (*) x=то есть
P(x) =
q(x)=
Причем ряды справа сходятся в области │x-│<
Теорема (9.1) Если функцииp(x) иq(x) голоморфны в области x-
│<
, то существующее единственное решение (9.1) голоморфно в той же области
y= , y’ =
’ при x=
Где и
’ — произвольные заданные числа то есть решение вида :
y= +
’ (x-
) +
x-
│<
(9.3)
В приложениях чаще всего встречаются случаи, когда коэффициент уравнений (9.1) является либо полиномами, либо отношениями полиномов
В непрерывном случае мы получаем решение в виде степени ряда
Во втором случае радиус сходит степени ряда представим решение не меньше расстояния они (*) x=до ближайшей известной точек в координате знаменатель коэффициента рассматривается как формула комплексныхпеременных обращенная в ноль
Коэффициент в формуле (9.3) определяется единственным образом : если заданы
и
’
Их можно определить подстановкой ряда (9.3) в уравнение (9.1) и приравнивание к нулю коэффициенты при разделении степени x=в левых частях получится равенство.
Устойчивость решений дифференциальных уравнений. Асимптотическая устойчивость.
Понятие о фразовом пространстве ДУ
В Евклидовом пространстве с прямоугольными координатами…
решение системы :
=
(t)
=
(t)
=
(t,
,…,
) (i=1 , .., n) (7.1)
скорость точки
;
…
При интегрировании (7.1)
= F (t, x) (7.1a)
Динамическая система (7.1) определенная в заданный момент времениtв пространстве,…,
поле скоростей
Если векторно – функциональная зависимость явно то t векторные траектории могут не пересекаться
Если f не зависит от t , то поле скоростей стационарно.
Рассмотрим t как параметр полученный на фазе имеющей семейство окружностей с центром в начале координат
= F(t, x) (7.1a)
Фиксируя получим определенную траекторию
Причем различные присущи различным движениям
Фаза траектории состоит из 1 точкиО которая называется точкой покоя (7.2)
Устойчивость по Ляпунову
При математическом описании различных процессов происходит некоторое округление , так как мы не учитываем факторы незначительновлияющие на процесс.
Возможно, что не учитываемые факторы сильно влияют на процесс, меняя его количественную и качественную характеристику
Во многих случаях можно указывать условия, при которых упрощение не возможно
Пусть некоторое явления описываются системой ДУ :
=
( t,
)
(
) =
o (i=
) (7.3)
Если решение не только устойчивое но и удовлетворяет условию:
lim │(t) —
=0 (7.5)
t ∞
│ (
) —
│<
>0