Устойчивость решений дифференциальных уравнений

в котором коэффициенты p(x) и q(x) являются голоморфными функциями в окрестности (*) x=то есть

P(x) =

q(x)=

Причем ряды справа сходятся в области │x-│<

Теорема (9.1) Если функцииp(x) иq(x) голоморфны в области x-│< , то существующее единственное решение (9.1) голоморфно в той же области

y= , y’ = ’ при x=

Где и ’ — произвольные заданные числа то есть решение вида :

y= + ’ (x-) +

x-│<(9.3)

В приложениях чаще всего встречаются случаи, когда коэффициент уравнений (9.1) является либо полиномами, либо отношениями полиномов

В непрерывном случае мы получаем решение в виде степени ряда

Во втором случае радиус сходит степени ряда представим решение не меньше расстояния они (*) x=до ближайшей известной точек в координате знаменатель коэффициента рассматривается как формула комплексныхпеременных обращенная в ноль

Коэффициент в формуле (9.3) определяется единственным образом : если заданы и ’

Их можно определить подстановкой ряда (9.3) в уравнение (9.1) и приравнивание к нулю коэффициенты при разделении степени x=в левых частях получится равенство.

Устойчивость решений дифференциальных уравнений. Асимптотическая устойчивость.

Понятие о фразовом пространстве ДУ

В Евклидовом пространстве с прямоугольными координатами…решение системы :

= (t) = (t)

= (t, ,…, ) (i=1 , .., n) (7.1)

скорость точки

; …

При интегрировании (7.1)

= F (t, x) (7.1a)

Динамическая система (7.1) определенная в заданный момент времениtв пространстве,…, поле скоростей

Если векторно – функциональная зависимость явно то t векторные траектории могут не пересекаться

Если f не зависит от t , то поле скоростей стационарно.

Рассмотрим t как параметр полученный на фазе имеющей семейство окружностей с центром в начале координат

= F(t, x) (7.1a)

Фиксируя получим определенную траекторию

Причем различные присущи различным движениям

Фаза траектории состоит из 1 точкиО которая называется точкой покоя (7.2)

Устойчивость по Ляпунову

При математическом описании различных процессов происходит некоторое округление , так как мы не учитываем факторы незначительновлияющие на процесс.

Возможно, что не учитываемые факторы сильно влияют на процесс, меняя его количественную и качественную характеристику

Во многих случаях можно указывать условия, при которых упрощение не возможно

Пусть некоторое явления описываются системой ДУ :

= ( t, )

() = o (i=) (7.3)

Если решение не только устойчивое но и удовлетворяет условию:

lim │(t) — =0 (7.5)

t ∞

│ () — │<>0