Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

Лекция 4

Тема: Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

4.1 Формула Грина.

Формула Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутому контуру Г на плоскости и двойным интегралом по области, ограниченной данным контуром.

Замкнутый контур Г мы будем считать кусочно-гладким и без самопересечений.

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру Г обозначается символом Замкнутый контур Г начинается в некоторой точке В этого контура и заканчивается в точке В. Интеграл по замкнутому контуру не зависит от выбора точки В.

Определение 1. Обход контура Г считается положительным, если при обходе контура Г область D остаётся слева. Г+ — контур Г обходится в положительном направлении, Г — — контур обходится в отрицательном направлении.

Теорема. Если P(x, y) и Q(x, y) непрерывны вместе со своими частными производными в ограниченной замкнутой области D, то справедлива формула Грина:

Где Г=

Г+ означает, что контур Г обходится в положительном направлении.

Доказательство. Доказательство проведем для односвязной области D, т. е. Г= состоит из одного замкнутого контура. При этом вначале будем предполагать, что любая прямая параллельная оси 0Х или 0Y пересекает Г не более, чем в двух точках.

Рассмотрим двойной интеграл

.

(1)

Аналогично доказывается, что:

(2)

Из равенств (1) и (2) получаем:

Следовательно,

Формула Грина при сделанных предположениях доказана.

Замечание 1. Формула Грина остаётся справедливой, если граница Г области D некоторыми прямыми, параллельными оси 0Х или 0Y пересекается более чем в двух точках. Кроме этого формула Грина справедлива и для n-связных областей.

4.2 Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования на плоскости.

В этом параграфе выясним условия, при выполнении которых криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, а зависит от начальной и конечной точек интегрирования.

Теорема 1. Для того, чтобы криволинейный интеграл не зависел от пути интегрирования в односвязной области необходимо и достаточно, чтобы этот интеграл, взятый по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру в этой области равнялся нулю.

Доказательство: Необходимость. Дано: не зависит от пути интегрирования. Требуется доказать, что криволинейный интеграл по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру равен нулю.

Пусть в рассматриваемой области D взят произвольный кусочно-гладкий замкнутый контур Г. На контуре Г возьмем произвольные точки B и C.

Так как не зависит от пути интегрирования, то

, т. е.

Достаточность. Дано: Криволинейный интеграл по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру равен нулю.

Требуется доказать, что интеграл не зависит от пути интегрирования.

Рассмотрим криволинейный интеграл по двум кусочно-гладким контурам, соединяющим точки B и С. По условию:

т. е. криволинейный

интеграл не зависит от пути интегрирования.

Теорема 2. Пусть непрерывны вместе с частными производными и в односвязной области D. Для того, чтобы криволинейный интеграл не зависел от пути интегрирования необходимо и достаточно, чтобы в области D выполнялось тождество

Доказательство: Достаточность. Дано: . Требуется доказать, что не зависит от пути интегрирования. Для этого достаточно доказать, что равен нулю по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру. По формуле Грина имеем:

Необходимость. Дано: По теореме 1 криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования. Требуется доказать, что

Доказательство: Доказательство проведем от противного. Предположим, что

, т. е. в некоторой точке М0(x0,y0). Пусть для определенности M0>α>0. По условию и непрерывны в точке М0, поэтому существует круг u(М0,r) c центром в точке М0 некоторого радиуса r>0, который лежит в области D и в котором выполняется неравенство — M0>α. Окружность с центром в точке М0 радиуса r обозначим через γ. По формуле Грина имеем: