Условия коше-римана аналитичности

Z1/z2=[z1]/[z2] (cos()+jsin(φ1+φ2)).

Ф-ция f(z) наз-ся дифф-мой, если существует предел при [h]→0:

.

Опр: функция f(z) непрерывная в некоторой области и имеющая в каждой точке ее конечную производную наз-ся аналитическая ф-ция f(z).

Грубо говоря, это не только отсутствие точек и линий разрыва, но и то, что при вычислении f(z), действия должны проводиться целиком над z, не разделяя ее на вещественные и мнимые части.

30)Вывести условия Коше-Римана аналитичности ф-ции.

Опр: функция f(z) непрерывная в некоторой области и имеющая в каждой точке ее конечную производную наз-ся аналитическая ф-ция f(z).

Т-ма:

Док-во: по опр-ю аналитичность означает непрерывность и дифф-сть.

Здесь стоят производные ф-ции двух переменных, соответственно пределы должны совпадать по всем направлениям.

Разделим почленно на dy, и обозначим dx/dy=t,

Для того чтобы пределы не зависели от направления, они должны зависеть от t. Для этого второе слагаемое =0 должно быть, т. е

2 компл-ых числа = тогда и только тогда, когда = их вещественные и мнимые части.

31)Опредеелния и св-ва показат-ой и логариф-ой комплексной переменной.

Показат-ая ф-ция определяется:

Эта ф-ция сохраняет все св-ва показательной ф-ции вещественно-переменной, но возникает одно новое – периодичность с мнимым периодом.

Логарифмическая ф-ция.

Она определяется как z-образная показательная:

Запишем эти ф-ции в тригонометр-й форме. Два номинальных числа = тогда и только тогда, когда = их вещественные и мнимые части, или когда = их модули и аргументы.

(1)-это опреедеоени ln-ф-ции комплексного аргумента. Отсюда видно, что ln комплексного числа имеет ∞ много значений. Логарифм =0 – не существует, а ln всех остальных чисел, включая отрицательные – существует.

ПР. Т. к вещественные числа явл-ся частным случаем комплексных, то ln вещ-го числа так же имеет ∞ много значений, одно из которых вещественно, а остальные – комплексные.

33)Интегрирование ф-ции

комплексного числа.

Пусть в комплексной плоскости задана ориентированная линия L, во всех ее точках задана ф-ция комплексной переменной:

на L w=f(z), тогда интеграл

от этой ф-ции по этой кривой

определяется аналогично тому, как определялся криволинейный интеграл по этому интервалу: .

Если длина линии L конечна и ф-ция φ(z) – ограничена на этой линии, то интеграл будет собственный; если что-то не выполнено будет – несобственный интеграл.

Интеграл принимает комплексные значения.

Z=x+jy, W=f(z)=u+jv.

Этот интеграл сводится к двум вещественным кривол-м интегралам: .

При изменении ориентации кривой Lзнак интеграла меняется на противоположный.

Если у f(z) существует первообразная F(z), то , где это приращение ф-ции f(z) при движении на линии L.

Справедлива следующая простая оценка интеграла:.

34)Свойства интеграла от аналитичной функции.

Тот факт, что ф-ция аналитична, т. е дифф-ма, т. е выполнимо условие Коши-Римана:

Du/dx=dv/dy, du/dy=-dv/dx, позволяет сделать много интересных выводов об интеграле в области D – это односвязная область, если ее граница состоит из одной замкнутой кривой и n-связная – если таких кривых.

Т-ма 1 (Коши): Если f(z) – аналитична в односвязной области Д, то интеграл по любому замкнутому контуру С, лежащему внутри этой области =0.

Док-во: мы будем док-ть эквивалентные утверждения о независимости интеграла начальной и конечной точки.

В силу ф-лы 3, вопрос сводится к независимости двух интегр-ов:

А эти условия совпадают с условиями Коше-Римана. Итак, интеграл аналит-й ф-ции по замкнутому контуру, лежащий в односвязной области =0. Эту т-му можно обобщит:

Т-ма 2: если ф-ция f(z) – аналитична в односвязной области Д и непрерывна на ее границе, то .

Т-ма 3: Если ф-ция f(z) – аналитична в многосвязной области Д, то

….

Теорема 3 наз-ся теоремой Коши для многосвязной области. Если область Д многосвязна и контур С в себе содержит дырку, то интеграл может быть и ≠0.

35)Формула Коши и теорема о среднем.

Т-ма 4:пусть ф-ция f(z)- аналитична внутри односвязной области Д и непрерывна на границе, тогда для любой внутр. точки z этой области справедлива ф-ла Коши(6):

Здесь ξ – это точки на границе области Д, то есть на контуре С. Отметим, что в правую часть этой ф-лы входят только значения этой ф-ции на ее грнице. Т. о для аналит-й ф-ции с помошью формулы Коши можно вычислить значение ф-ции в любой точке внутри области, зная только значения ф-ции на ее границе.

Т-ма 5: если ф-ция f(z) – аналит-на внутри круга и непревна на его границе, то значение ф-ции в центре круга = среднему арифмет-му значению ф-ции на его границе:

….

36)Доказать ∞ дифф-сть аналит-ой ф-ции.

Неравенства Коши.

По определению аналитичность означает дифф-ть, покажем что из аналит-ти следует ∞ дифф-е ф-ции, для этого воспользуемся формулой 2:

….