Условия коше-римана аналитичности
Z1/z2=[z1]/[z2] (cos()+jsin(φ1+φ2)).
Ф-ция f(z) наз-ся дифф-мой, если существует предел при [h]→0:
.
Опр: функция f(z) непрерывная в некоторой области и имеющая в каждой точке ее конечную производную наз-ся аналитическая ф-ция f(z).
Грубо говоря, это не только отсутствие точек и линий разрыва, но и то, что при вычислении f(z), действия должны проводиться целиком над z, не разделяя ее на вещественные и мнимые части.
![]() |
30)Вывести условия Коше-Римана аналитичности ф-ции.
Опр: функция f(z) непрерывная в некоторой области и имеющая в каждой точке ее конечную производную наз-ся аналитическая ф-ция f(z).
Т-ма:
Док-во: по опр-ю аналитичность означает непрерывность и дифф-сть.
Здесь стоят производные ф-ции двух переменных, соответственно пределы должны совпадать по всем направлениям.
Разделим почленно на dy, и обозначим dx/dy=t,
Для того чтобы пределы не зависели от направления, они должны зависеть от t. Для этого второе слагаемое =0 должно быть, т. е
2 компл-ых числа = тогда и только тогда, когда = их вещественные и мнимые части.
31)Опредеелния и св-ва показат-ой и логариф-ой комплексной переменной.
Показат-ая ф-ция определяется:
Эта ф-ция сохраняет все св-ва показательной ф-ции вещественно-переменной, но возникает одно новое – периодичность с мнимым периодом.
Логарифмическая ф-ция.
Она определяется как z-образная показательная:
Запишем эти ф-ции в тригонометр-й форме. Два номинальных числа = тогда и только тогда, когда = их вещественные и мнимые части, или когда = их модули и аргументы.
(1)-это опреедеоени ln-ф-ции комплексного аргумента. Отсюда видно, что ln комплексного числа имеет ∞ много значений. Логарифм =0 – не существует, а ln всех остальных чисел, включая отрицательные – существует.
ПР. Т. к вещественные числа явл-ся частным случаем комплексных, то ln вещ-го числа так же имеет ∞ много значений, одно из которых вещественно, а остальные – комплексные.
33)Интегрирование ф-ции
комплексного числа.
Пусть в комплексной плоскости задана ориентированная линия L, во всех ее точках задана ф-ция комплексной переменной:
на L w=f(z), тогда интеграл
от этой ф-ции по этой кривой
определяется аналогично тому, как определялся криволинейный интеграл по этому интервалу: .
Если длина линии L конечна и ф-ция φ(z) – ограничена на этой линии, то интеграл будет собственный; если что-то не выполнено будет – несобственный интеграл.
Интеграл принимает комплексные значения.
Z=x+jy, W=f(z)=u+jv.
Этот интеграл сводится к двум вещественным кривол-м интегралам: .
При изменении ориентации кривой Lзнак интеграла меняется на противоположный.
Если у f(z) существует первообразная F(z), то , где это приращение ф-ции f(z) при движении на линии L.
Справедлива следующая простая оценка интеграла:.
34)Свойства интеграла от аналитичной функции.
Тот факт, что ф-ция аналитична, т. е дифф-ма, т. е выполнимо условие Коши-Римана:
Du/dx=dv/dy, du/dy=-dv/dx, позволяет сделать много интересных выводов об интеграле в области D – это односвязная область, если ее граница состоит из одной замкнутой кривой и n-связная – если таких кривых.
Т-ма 1 (Коши): Если f(z) – аналитична в односвязной области Д, то интеграл по любому замкнутому контуру С, лежащему внутри этой области =0.
Док-во: мы будем док-ть эквивалентные утверждения о независимости интеграла начальной и конечной точки.
В силу ф-лы 3, вопрос сводится к независимости двух интегр-ов:
А эти условия совпадают с условиями Коше-Римана. Итак, интеграл аналит-й ф-ции по замкнутому контуру, лежащий в односвязной области =0. Эту т-му можно обобщит:
Т-ма 2: если ф-ция f(z) – аналитична в односвязной области Д и непрерывна на ее границе, то .
Т-ма 3: Если ф-ция f(z) – аналитична в многосвязной области Д, то
….
Теорема 3 наз-ся теоремой Коши для многосвязной области. Если область Д многосвязна и контур С в себе содержит дырку, то интеграл может быть и ≠0.
35)Формула Коши и теорема о среднем.
Т-ма 4:пусть ф-ция f(z)- аналитична внутри односвязной области Д и непрерывна на границе, тогда для любой внутр. точки z этой области справедлива ф-ла Коши(6):
Здесь ξ – это точки на границе области Д, то есть на контуре С. Отметим, что в правую часть этой ф-лы входят только значения этой ф-ции на ее грнице. Т. о для аналит-й ф-ции с помошью формулы Коши можно вычислить значение ф-ции в любой точке внутри области, зная только значения ф-ции на ее границе.
Т-ма 5: если ф-ция f(z) – аналит-на внутри круга и непревна на его границе, то значение ф-ции в центре круга = среднему арифмет-му значению ф-ции на его границе:
….
36)Доказать ∞ дифф-сть аналит-ой ф-ции.
Неравенства Коши.
По определению аналитичность означает дифф-ть, покажем что из аналит-ти следует ∞ дифф-е ф-ции, для этого воспользуемся формулой 2:
….