Урок по комплексным числам

11 класс. Алгебра. Конспект занятий «Комплексные числа»

Введение

С усложнением задач, которые решала математика, расширялся и ее инструментарий. Изначально велся счет натуральными числами. Погода, кредиты, долги – целыми, а затем и рациональными (дроби, доли). Отношения, константы, корни – иррациональными числами. Все вышеперечисленные множества чисел называют действительными, при решении задач мы часто используем эти множества. При решении задач, написании ОДЗ и т. д. С другой стороны, не все уравнения вообще решаются в действительных числах (на доске несколько примеров на квадратные и кубические уравнения с отрицательным дискриминантом). То есть множество действительных чисел ограничено и не дает нам решений в некоторых случаях. Тогда множество действительных чисел нужно было как-то расширять, чтобы удовлетворить потребность в решении подобных задач. Оно было расширено всего одним элементом. Корнем из минус единицы.

Исторические факты

Исторически комплексные числа были выведены еще в 16 веке, когда математики решали кубические уравнения и находили их корни. Приписывают открытие итальянскому ученому Джероламо Кардано. Судьба Кардано – довольно странная. Он был внебрачным сыном юриста, он работал при нем слугой, никаких земных благ ему не светило. Но его смышленость заметил отец и стал его обучать. Кардано пишет в своей автобиографии, что для него всегда важно и почетно было оставить свой след в истории, и у него это действительно получилось. Он выучился на медика, потом преподавал медицину, но также он стал профессором математики, его всегда интересовали многие науки. Он подрабатывал, составляя альманахи и гороскопы. И даже составил и опубликовал гороскоп Иисуса, за что, разумеется, поплатился. В 30 лет он женился на девушке, которая была в два раза его младше. У него было двое сыновей: одного казнили за убийство неверной жены, а второй был мошенником, игроком и вором. По легенде он составил свой гороскоп и предсказал дату своей смерти, и чтобы доказать это, он покончил с собой.

Несмотря на довольно неординарную личность, в науке он был действительно гением: он использовал отрицательные числа (до него этого практические не было), решал кубические уравнения, и даже есть универсальная формула, названная в его честь, для решения таких уравнений – формула Кардано. Кстати говоря, эта формула была придумана не им, а другим ученым. В принципе, это не имело особого прикладного смысла, но подтолкнуло других ученых к изучению этого вопроса.

Следующим плотно занялся и нашел применение комплексным числам итальнский математик Рафаэль Бомбелли в 1572 году. Первый в Европе он свободно оперирует с отрицательными числами, придумал первые скобки в виде перевернутой буквы L, числовое, а не словесное, обозначение степени, опубликовал свои труды по комплексным числам, где указывает использование комплексных чисел, операций над ними. Но даже он сам не доверяет своим открытиям, считая их хитроумной выдумкой. Комплексные числа называли мнимыми, тем самым отвергая их реальность. Правда, примерно так же относились и к иррациональным числам, и к отрицательным.

Следующие важные шаги в развитии комплексных чисел – это формула Муавра (1707), которая позволяет возводить в степень комплексные числа, представленные в тригонометрическом виде, а так же труды Эйлера (1777), который предложил название той самой важной мнимой единице, распространил все стандартные функции на комплексные числа, высказал мысль, что поле комплексных чисел – алгебраически замкнутое, то есть других множеств чисел уже нет. Строго доказал последнюю мысль Карл Гаусс (1799). Ему же приписывают и окончательное название множества таких чисел – комплексным.

Определение

Что же такое комплексное число? Это число вида: , где – действительные числа, – мнимая единица. Мнимая единица – это корень уравнения , т. е. . – действительная часть комплексного числа, – мнимая. Такая запись называется алгебраической записью комплексного числа. Любое действительное число можно представить в виде комплексного, мнимая часть равна нулю. Комплексное число, у которого действительная часть равна нулю, называется чисто мнимым. Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части: если .

Операции над комплексными числами

Все операции выполняются так же, как операции с многочленами: подобные слагаемые, раскрытие скобок. Так же работают сочетательное, переместительное и распределительное свойства сложения и умножения.
(NB: )

Множества чисел: 01.04.2015 Комплексные числа. Часть 1

N – натуральные {1, 2, 3, 4 …}

Z – целые {-1, -2, -3, 0, 1, 2, 3 …}

N – натуральные {1, 2, 3, 4 …}

Z – целые {-1, -2, -3, 0, 1, 2, 3 …}

Q – рациональные | вида

I – иррациональные |

R – действительные

С – комплексные | вида

Определение 1: (алгебраическая запись) , где – действительные числа, – мнимая единица; – действительная часть комплексного числа, – мнимая.

Определение 2: два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части: если .

Определение 3: сопряженные числа – (меняется только знак перед мнимой частью)

Определение 4: противоположные числа –
(меняются знаки перед действительной и мнимой частями)

Комплексная плоскость – геометрическая интерпретация

Ось OX – Re(z); Ось OY – Im(z)

_______________________________________

_______________________________________

_______________________________________

Примеры действий с комплексными числами:

1) 

2) 

3)  (домножили числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение)

4) 

Множества чисел: 01.04.2015 Комплексные числа. Часть 1

N – натуральные {1, 2, 3, 4 …}

Z – целые {-1, -2, -3, 0, 1, 2, 3 …}

N – натуральные {1, 2, 3, 4 …}

Z – целые {-1, -2, -3, 0, 1, 2, 3 …}

Q – рациональные | вида

I – иррациональные |

R – действительные

С – комплексные | вида

Определение 1: (алгебраическая запись) , где – действительные числа, – мнимая единица; – действительная часть комплексного числа, – мнимая.

Определение 2: два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части: если .

Определение 3: сопряженные числа – (меняется только знак перед мнимой частью)

Определение 4: противоположные числа –
(меняются знаки перед действительной и мнимой частями)

Комплексная плоскость – геометрическая интерпретация

Ось OX – Re(z); Ось OY – Im(z)

_______________________________________

_______________________________________

_______________________________________

Примеры действий с комплексными числами:

1) 

2) 

3)  (домножили числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение)