Уравнения с разделяющимися переменными

(x, y, z) =

(x, y, z) =

Которые должны одновременно удовлетворять в задней линии =0 , =0

Через которую мы проводим характеристики определяемые уравнениями :

Заметим, что задание станет неопределяемым если задание меньше (x, y, z) = 0

(x, y, z) = 0 является характеристикой, т. к. в этом случае эту линию можно включить в различные однопараметрические семейства характерные тем самым получим различные интегралы появляющееся через эту линию.

Уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение первого порядка y’ = f(x, y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если функцию f(x, y) можно представить в виде произведения двух функций, зависящих только от x и y:

где p(x) и h(y) − непрерывные функции. 
Рассматривая производную y’ как отношение дифференциалов , перенесем dx в правую часть и разделим уравнение на h(y):

Разумеется, нужно убедиться, что h(y) ≠ 0. Если найдется число x0, при котором h(x0) = 0, то это число будет также являться решением дифференциального уравнения. Деление на h(y) приводит к потере указанного решения. 
Обозначив , запишем уравнение в форме:

Теперь переменные разделены и мы можем проинтегрировать дифференциальное уравнение:

где C − постоянная интегрирования. 

Вычисляя интегралы, получаем выражение

описывающее общее решение уравнения с разделяющимися переменными. Система дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка

Во многих областях науки встречаются системы величин, которые связаны между собой не одним, а сразу несколькими соотношениями, рассматривается задача Коши для систем из двух уравнений с двумя начальными условиями

+ 8 =0

+ 2 =0 ∞ <x< +∞ 0 <t< ∞

(x, 0) = f(x)

(x, 0) = d(x)

Эта задача может соответствовать определению давления и плотности , как формула uпространствует координатам xи времени t

(x, 0) = f(x) — давление

(x, 0) = d(x) — плотность

x — координат

t – время

Запишем систему уравнений в матричной форме

+ =

+ A = (8.7)

A =

= =

=

Введение новой неизвестной функции v = с помощью преобразования u = pv, где p — матрица, по столбцам которой стоят собственные векторы матрицы А.

Собственные числа матрицы А являются корнями уравнения :

det (A –λ E)=0

или = 0 ó – 16 = 0 = 4 = — 4

Найдём собственный вектор соответствующий собственному значению = 4 из системы

(A – E) () = 0

= =1

=2 =>

P=

= — 4

= = 1,

= — 2

P=

* = det p= 4

AP = = = = B

после того по формуле pv находится искомая формула

система для определения v продифференцируем обе части соотношения u=pv получаем :

= p

= p (8.8)

Теперь подставим соотношения (8.8) в системе :

+ A = 0

+ A│ = 0 │*

+ A =0

+ B= 0 (8.9)

Заменим (8.9) в развернутой форме :

(8.10)

Получилась система из 2х не связанных уравнений которые решаются независимо их решениями будут :

=

x — 4t =

= ϕ (x-4t)

: =

x-+4t =

= ϕ (x+4t)

Для получения общего решения нужно выполнить по формуле : u=pv

= =

(x, t) =

(x, t) =

Замечание : часто численные методы ориентируются на решение систем уравнений, а значит многие программы для компьютера написаны так чтобы решить систему уравнений первого порядка, поэтому приходится преобразовывать свое уравнение высшего порядка в систему первого порядка. Простейшие ОДУ первого порядка, разрешенные относительно производной.

Самым простейшим дифференциальным уравнением 1-го порядка является уравнение вида: y′(x)=f(x),  (1), где f(x) — заданная непрерывная на промежутке <a,b> функция.
Задача нахождения решения дифференциального уравнения (1) в данном случае есть известная задача математического анализа об отыскании неизвестной функции по ее производной. Данная задача решается с помощью понятия первообразной (т. е. неопределенного интеграла)

y(x)=∫f(x)dx. 

Поскольку все первообразные одной и той же функции отличаются одна от другой лишь на постоянную, то все решения уравнения (1) задаются формулой: y(x)=∫f(x)dx+C (2) 

Придадим формуле (2) иной вид. Пусть x0 — фиксированная точка промежутка <a,b>, тогда неопределенный интеграл можно представить в виде ∫f(x)dx=∫xx0f(t)dt+C1 (3)

Подставляя (3) в (2), получим
y(x)=∫xx0f(t)dt+C+C1=∫xx0f(t)dt+C2 (4)

Формулы (2) или (4) содержит все первообразные для f(x), поэтому они содержат все решения дифференциального уравнения (1) . Таким образом, общее решение уравнения (1) определяется по формуле (2) или (4).