Уравнения с разделяющимися переменными
(x, y, z) =
(x, y, z) =
Которые должны одновременно удовлетворять в задней линии =0 ,
=0
Через которую мы проводим характеристики определяемые уравнениями :
Заметим, что задание станет неопределяемым если задание меньше (x, y, z) = 0
(x, y, z) = 0 является характеристикой, т. к. в этом случае эту линию можно включить в различные однопараметрические семейства характерные тем самым получим различные интегралы появляющееся через эту линию.
Уравнения с разделяющимися переменными.
Дифференциальное уравнение первого порядка y’ = f(x, y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если функцию f(x, y) можно представить в виде произведения двух функций, зависящих только от x и y:
где p(x) и h(y) − непрерывные функции.
Рассматривая производную y’ как отношение дифференциалов , перенесем dx в правую часть и разделим уравнение на h(y):
Разумеется, нужно убедиться, что h(y) ≠ 0. Если найдется число x0, при котором h(x0) = 0, то это число будет также являться решением дифференциального уравнения. Деление на h(y) приводит к потере указанного решения.
Обозначив , запишем уравнение в форме:
Теперь переменные разделены и мы можем проинтегрировать дифференциальное уравнение:
где C − постоянная интегрирования.
Вычисляя интегралы, получаем выражение
описывающее общее решение уравнения с разделяющимися переменными. Система дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка
Во многих областях науки встречаются системы величин, которые связаны между собой не одним, а сразу несколькими соотношениями, рассматривается задача Коши для систем из двух уравнений с двумя начальными условиями
+ 8
=0
+ 2
=0 ∞ <x< +∞ 0 <t< ∞
(x, 0) = f(x)
(x, 0) = d(x)
Эта задача может соответствовать определению давления и плотности
, как формула uпространствует координатам xи времени t
(x, 0) = f(x) — давление
(x, 0) = d(x) — плотность
x — координат
t – время
Запишем систему уравнений в матричной форме
+
=
+ A
=
(8.7)
A =
=
=
=
Введение новой неизвестной функции v = с помощью преобразования u = pv, где p — матрица, по столбцам которой стоят собственные векторы матрицы А.
Собственные числа матрицы А являются корнями уравнения :
det (A –λ E)=0
или = 0 ó
– 16 = 0
= 4
= — 4
Найдём собственный вектор соответствующий собственному значению
= 4 из системы
(A – E) (
) = 0
=
=1
=2 =>
P=
= — 4
=
= 1,
= — 2
P=
*
=
det p= 4
AP =
=
=
= B
после того по формуле pv находится искомая формула
система для определения v продифференцируем обе части соотношения u=pv получаем :
= p
= p
(8.8)
Теперь подставим соотношения (8.8) в системе :
+ A
= 0
+ A│
= 0 │*
+
A
=0
+ B
= 0 (8.9)
Заменим (8.9) в развернутой форме :
(8.10)
Получилась система из 2х не связанных уравнений которые решаются независимо их решениями будут :
=
x — 4t =
= ϕ (x-4t)
:
=
x-+4t =
= ϕ (x+4t)
Для получения общего решения нужно выполнить по формуле : u=pv
=
=
(x, t) =
(x, t) =
Замечание : часто численные методы ориентируются на решение систем уравнений, а значит многие программы для компьютера написаны так чтобы решить систему уравнений первого порядка, поэтому приходится преобразовывать свое уравнение высшего порядка в систему первого порядка. Простейшие ОДУ первого порядка, разрешенные относительно производной.
Самым простейшим дифференциальным уравнением 1-го порядка является уравнение вида: y′(x)=f(x), (1), где f(x) — заданная непрерывная на промежутке <a,b> функция.
Задача нахождения решения дифференциального уравнения (1) в данном случае есть известная задача математического анализа об отыскании неизвестной функции по ее производной. Данная задача решается с помощью понятия первообразной (т. е. неопределенного интеграла)
y(x)=∫f(x)dx.
Поскольку все первообразные одной и той же функции отличаются одна от другой лишь на постоянную, то все решения уравнения (1) задаются формулой: y(x)=∫f(x)dx+C (2)
Придадим формуле (2) иной вид. Пусть x0 — фиксированная точка промежутка <a,b>, тогда неопределенный интеграл можно представить в виде ∫f(x)dx=∫xx0f(t)dt+C1 (3)
Подставляя (3) в (2), получим
y(x)=∫xx0f(t)dt+C+C1=∫xx0f(t)dt+C2 (4)
Формулы (2) или (4) содержит все первообразные для f(x), поэтому они содержат все решения дифференциального уравнения (1) . Таким образом, общее решение уравнения (1) определяется по формуле (2) или (4).