Уравнения прямой. общее уравение прямой

·  Если числовые выраж-я А и В соединить знаком >(>,<,<), то получим предл-е А>В(А>В,А<В,А<В), кот. наз. числов. нерав-вом.

С логич. т. зр. нерав-во явл-ся высказ. истинным и ложным.

Св-ва: 10 А>В, тоВ<А

¨ А>В и А-В>0, то -( А-В) <0 и — А+В<0, то В-А<0 и В<А

20 А>В, В>С и А>С

А>В и А-В>0 | (А-В)+(В-С) >0 ,то А-С>0 и А>С

В>С и В-С>0 |

30 А>В и А+С>В+С

¨ А>В и А-В>0, то А-В+С-С>0, след.(А+В) — (В+С) >0, то А+С>В+С

401) А>В, С>0,то АС>ВС

2) А>В, С<0, то АС<ВС

1) А>В и А-В>0 | (А-В)*С >0, АС-ВС>0, след АС>ВС

ВС>0, то С>0 |

2) А>В и А-В>0 |то (А-В)*С<0, след АС-ВС<0,то АС<ВС

ВС<0,то С<0 |

50Нер-ва одного смысла можно складывать:А>В, С>Dто А+С>В+D

А>Ви А-В>0 |то (А-В)+(С-D) >0, след (А+С) — (В+D), то А+С>В+D

С>D, то С-D>0

60 Нер-ва противоположн. чисел можно сочетать оставляя знак первого нерав-ва: А>В, С<D то А-С>В-D

А>ВиА-В>0 | (А-В)+(D-С) >0,(А-С) — (В-D) >0, то А-С>В-D

С<Dи D>С, то D-С>0 |

70 А-В>0, А>В, то 1/А<1/В

А>Ви А-В>0, тоВ-А<0 1/А — 1/В = В-А/АВ<0, то 1/А<1/В

80 А>В, А>0, В>0, то Аn>Вn

90 А>В, А>0, В>0, то n А>n В

100 А>В, C>D, А>0, В>0, то С>0, D>0, след АС>ВD

·  Два ур-я наз. равносильными, если мн-во их реш-й совпадает.

·  Если реш-е ур-я f1(х)=f2(х) явл-ся реш-ем ур-я g1(х)=g2(х), то 2-е ур-е – следствие 1-го.

Процесс реш-я ур-й заключ. в след.: при помощи тождественных преобраз-й данное ур-е замен. либо послед-ю равносил. ему уравн, либо послед-ю следствий.

В 1-м случ. реш-е ур-й считается законченным, когда оно образ. совокупн. уравн., левая часть кот. состоит из одной переменной, а правая не содержит вообще.

Во 2-м случ. нельзя законч. реш-е ур-я, найдя корни следств., т. к. при замене ур-я его следств. корни ур-я не исчезнут, но м/появ-ся посторонние корни (необходима проверка)

Теор. (1) f(х)=g(х) определена на Х, h(х) – выраж-е, опред-ое на Х, тогда (2) f(х)+ h(х)=g(х)+ h(х) – равносильно первому.

¨ Чтобы док-ть равносильн. ур-я нужно пок-ть, что мн-во реш-й совпадает.

1) Пусть Т1 – мн-во реш-й ур-я (1); Т2 – мн-во реш-й ур-я (2) ; а – произвольн. руш-е ур-я (1), т. е. а э Т1 , тогда а обращает ур-е (1) в истинное числовое рав-во f(а)=g(а).

Прибавим к обеим частям последн. рав-ва число h(а).

Полученное при этом рав-во f(а)+ h(а)=g(а)+ h(а) – явл. истин.

Из этого следует, что а – корень ур-я (2), т. е. а э Т2

Т. к. а – произв. Корень, то Т1 С Т2

2) Пусть а – корень ур-я (2) и а э Т2, то а обращает ур-е (2) в истинное числов. рав-во f(а)+ h(а)=g(а)+ h(а).

Прибавим к обеим частям числов. выр-я -h(а). Получим f(а)=g(а) – также истин. рав-во по св-ву числовых рав-в а э Т1 и а э Т2, то Т1 С Т2, Т2 С Т1, след Т1 =Т2 т. е. мн-во реш-й ур-я (1) и (2) совпадает и ур-я равносильны.

Следствия:1) Если к обеим частям ур-я прибавить одно и то же число, то получ. ур-е равносильное данному.

2) Если какое-л. слагаемое (числов. выр-е или выр-е с переменной)перенести из одной части ур-я в др., поменяв знак слагаемого на противополож-й, получим ур-е равносильное данному.

Теор. Пусть f(х)=g(х) – ур-е с обл. опред. Х, h(х) – выр-е, определённое на мн-ве Х и не обращающееся на этом мн-ве в 0, тогда ур-е f(х)h(х)=g(х)h(х) – равносильно первому. (док-во аналогично)

Следствие: Если обе части ур-я умножить или разделить на одно и то же нерав-ое 0 число, получ-ое ур-е равносильно данному.

Т. Пусть f1(х), f2(х),…., fn(х) –выраж-я с переменной, определённые на Х. Ур-е f1(х)*f2(х)*….* fn(х)=0 – равносильно на мн-ве Х совокупности ур-й f1(х)=0 V f2(х)=0 V …. V fn(х)=0

·  Пусть f(х), g(х) выраж-я опред. на мн-ве Х. Одноместный предикат f(х)=g(х) наз. уравн. с одной переменной, а мн-во Х – обл. опред. урав-я.

·  Знач-е переменной х, при кот. уравн. f(х)=g(х) обращ. в истинное рав-во наз. корнем уравн. или его решением.

Решить ур-е значит найти мн-во всех его корней или найти мн-во истинности соответств. предиката. Классиф-ция:

1. Уравнение наз. алгебраическим, если над переменными не соверш-ся иных действий кроме «+», «-», «/», «*», «возвед-е в степень».

В противном случае уравн. наз трасцендентным. К таким уравн. относ-ся логарифмы, тригометр. ур-я и т. д.

Алгебраич. ур-я делят на типы:

а) целое алгебраич. ур-е – ур-е, в кот. выраж. с переменной явл. целым по отнош. с переменной.

б) дробно-рац. ур-е – ур-е, содержащее выраж-е с переменной по знаку корня.

в)иррациональные ур-я –ур-я, содерж. выраж-е с переменной по знаку корня.

2. По числу переменных ур-я бывают с одной, двумя т. д. переменными.

3. Целые алгебраич. ур-я с одной переменной всегда м/ представ. в виде

an xn + an – 1 xn – 1 +…+ a1 x+x0 =0

Степень ур-я равна степени многочлена, стоящего в левой части ур-я:

1-ой степ. – линейные; 2-ой – квадратные; 3 – кубичные.

26. Ур-я прямой. Общее ур-е прямой. Взаимное располож-е двух прямых. Линии второго порядка.

Ур-е прямой, проходящей ч/з данную точку в данном направлении.

!-обозначение вектора

€- знак принадлежности

1)Уравнение прямой, заданной точкой и направляющим вектором.

Пусть известны координаты некоторой точки Мо(х0,у0) прямой l и направляющего вектором а! ( а1,а2) этой прямой, тогда произвольная точка М(х, у) лежат на этой прямой, т. к векторы МаМ! и а! коллинеарны, т. е их координаты пропорциональны.

х-х0/а1 = у-у0/ф-а2 (1)

а2(х-х0) – а1(у-у0)= 0 (1*)

Т: М€ l <=> ее координаты уд (1)

2)Уравнение прямой, заданной двумя точками.

Пусть известны координаты двух точек прямой l М1(х1;у1) , М2(х2;у2).Тогда вектор М1М2! явл. Направляющим вектором этой прямой. Т. к М1М2! (х2- х1, у2- у1) то для произвольной точки М(х, у) этой прямой справедливо:

х-х1/ х2- х1= у-у1/ у2- у1 (2)

3Ур-е прямой, заданной точкой и нормальным вектором.

!!!!!!Пусть некот-ая прямая l задана своим общим ур-ем Ах+Ву+С=0

Пусть М0(х0,у0) – точка, лежащая на l коор-ты т.М0 удовлетворяют ур-ю прямой l, т. е. Ах0+Ву0+С=0 Вычтем его из ур-я прямой:А(х-х0)+В(у-у0)=0

М. заметить, что рав-во … выражает условие ┴-ти векторов

n=(А;В) М0М=(х-х0;у-у0), где (х;у) коэф-ты т.М(х;у)

¨  Тогда, если М Є l , то  nкоэф-ты А и В в общем ур-ии прямой имеют простой геометрич-й смысл. Это коор-ты вектора ┴-го прямой. Такой вектор наз-ся нормальным вектором прямой. Он, как и общее ур-е прямой, опред-ся с точностью до ненулевого множителя. Ур-е … позволяет записать ур-е прямой по коор-там точки Є-щей этой прямой и коор-там нормального вектора этой прямой.!!!!!!!!!

4 Урав-е прямой с угловым коэф-том.

Пусть дана прямая l, пересекающая ось ординат

Пусть а!(а1,а2)- напр. вектор этой прямой т. к а! и е! не каллинеарны, то а1≠0

Число k=а1/ а2 – назыв. Угловым коэффициентом прямой l. Известно, что : k=tgὺ( значок ФИ) . Итак, пусть известны координаты М0 (х0,у0 ) € l и угловой коэф-т k прямой l

Преобразуем уравнение (1*)

а2(х-х0)-а1(у-у0)=0

↕↕

у-у0= k(х-х0)

Если в качестве точки М взять точку В (0, в) пересечение пересечение прямой с осью ординат, то уравнение прямой примет вид

у = kх + в (3)

5Ур-е прямой "в отрезках".

Пусть прямая l отсекает от осей ОХ и ОY, соотв-но отрезки а≠0 и в≠0. Треб-ся найти ур-е такой прямой. Эта прямая проходит ч/з т. А(а;0) и В(0;в). Воспольз-ся ур-ем оо:

(у-0)/(в-0)=(х-а)/(0-а)у/в= — х/а+1

х/а+у/в=1–ур-е прямой "в отрезках"(4)

Т. о, любое ур-ние прямой явл. ур-нием первой степени, т. е может быть записано в виде

Ах+Ву+С=0 (5)

5Общее ур-е прямой

Справедливо следующая теорема:

Нетрудно убедиться в справедливости следующих утверждений относительно двух прямых l1 l2, заданных, соответственно, уравнениями

А1 х+В1 у+С1=0 : l1

А2 х+В2 у+С2=0 : l2

1)Прямая l1 и l2 совпадают, тогда и т. Т. к все коэффициенты в их ур-ниях пропорциональны

l1 = l2 « =» (А 2 =λА1,В2 λВ1, С2=λС1)

2) Прямая l1 и l2 паралельнны « =» коэф-ты при х и у в их ур-ниях пропорциональны, но сободные члены им не пропорциональны.

l1 и l2 « =» ( а= А2 /А1 = В2 /В1 ≠ С2 /С1)

3) Прямые l1 = l2 пересекаются « =» коэффиценты при х и у в их уавнениях не пропорциональны

l1 ∩ l2 « =» А2 / А1≠ В2 / В 1

15 Простые и составные числа.

Опре-ие: натур-ое число p назы-ся простым, если оно делится только на себя и на 1.

P м-во простых чисел pєΡ=>p:1, p

Опре-ие: натур-ое число назы-ся составным, если оно имеет более 2х делителей.

М м-во простых чисел. 1 явл-ся ни простым ни составным числом.

Сво-ва простых чисел.

1pєΡ и p:n, n>1 => p=n

Док-во: pεP=>(Œ kεN) p=nk

p:n n>1

=> k=1=> p=n

2 p 1, p 2 ε P и p1≠p2 => p1:p2 ^ p 2 : p 1

Док-во: методом от противного p1 : p2 => p1=p2

p2 >1

p2 : p1 => p2=p1

3 любое натур-ое число больше 1 делится хотя бы на 1 простое число.

n = 2єP, 2:2

Предположим, что это утвер-ие справед-во для всех натур-ых чисел больше 2, но меньше n. Дока-ем, что утвер-ие справед-во для самого числа n.

1) nєP док-но, если n простое и делится само на себя

2) nєM, n=n 1 * n 2

1<n 1 <n

1<n 2 < n

=>по сво-ву отноше-ия делимости, то произ-ие поделится хотя бы на одно простое число

4 pєP, mє N => ν НОД (p, m) = 1ν m :p

Док-во: НОД (p, m)=d

1) m=1 => d=1

2) mєP

·  m =p=> m:p

·  m≠p=> d=1

3) mєM

НОД (p, m)=d=> p:d (d>1)^m:d => p=d и m:d=> m:p

5a, bεN, ab:p, pεP => a:pνb:p

Док-во: ab:p => 1) a:p

2) a:p => НОД (a, p)=1 => b:p

6 наименьший простой делитель состав. числа n не превосходит √ из n, т. е.

nεM, n>1

n:p, p наим. =>p≤ √n

n:p => (Œ n 1ε N) n=pn 1 => n1 делитель числа n, а поскольку наим-ий делитель=> p≤n1

p2 ≤n 1p=n

p2 ≤n => p≤√n

След-ие из 6 если натур-ое число n больше 1 не делится ни на одно простое число не превосходящее √n, то оно явл-ся простым, в противном случае составное.

Тео-ма Евклида. Мн-во простых чисел бесконечно (бесконеч-ть мн-ва)

Док-во от противного

Предп-м, что м-во P конечно. P={p1,p2,…pk} p1=2

Расс-м n=p1*p2 *…pk + 1εN

n¢P => n cоставное εM => n:pi, pi ε P

n:p1, n=p1 p2 pk + 1 => 1:p1 xего быть не может => p1=1 получили противоречие/

Наше предпол-ие неверно => м-во простых чисел бесконечно.

Основ-а ятеорема ариф-ки.

Всяко натур-ое число > 1 или ≠ 1 можно представить в виде произ-ия простых множителей при чем единстве-ым образом с точностью до порядка следования сомножителей.

n ε N, n=p1 * p2 …pk

Док-во: сущест-ие мето-ом индукции

n=2ε P, тогда теорема док-на

Предположим, что данное утвер-ие справед-во для всех натур-ых чисел > 2, но <n. Дока-м, что утвер-ие справед-во и для самого числа n.

1) nεP в этом случае теорема док-на

2) 2εM => n=n1 * n2

1<n1 <n, 1<n2 <n

n1 <n, n2 <n => n1 =p1*p2 * ….pl, p2 =pl+1*pl+2*pk

n= p1*p2 *… pl * pl+1*… *pk

Вывод: утвер-ие справед-во для любого натур—ого числа >1

Единс-ть методом от противного

n= p1*p2 * ….pk (1) pi, qi ε P, i=1,k

n= q1*q2 * ….qk

p1*p2 * ….pk = q1*q2 * ….qk (*)

левая часть : на p1 => и правая часть : на p1

=> q1 : p1 , p1 > 1 => q1 = p1

p2*…*pk = q2 *…*qk (**)

дальше рассуж-ия повторить q2=p2, q3 =p3, … qk =pk

В разложении (1) простые мн-ли могут повторяться, поэтому всякое нат-ое число n>1

n = pL 1 * pL 2 *…* pL k, Li ε Z0 , i=1,k

Это равен-во назыв-ся каноническим разложением натур-ого числа.

Решето Эратосфена.

Указать все простые числа от 1 до 401 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Вычеркиваем 1 ни простое ни составное, первое невычеркнутое число 2, вычеркиваем после него каждое второе, 3 – второе невычеркнутое число, вычеркиваем после него каждое третье число, 5 – третье невычеркнутое число, вычеркиваем после него каждое пятое число и т. д.

Все невычеркнутые числа – простые.

16 Рацио-ые числа

На м-ве не всегда выпол-ся опер-ия деления. Это создает необ-ть в расширении до м-ва рацио-ых чисел.

Опре-ие: м-ом рацион-ых чисел наз-ся мн-во удовлет-щее след-щим условиям:

·  м-во Q содержит Z (ZcQ)

·  слож-ие, умнож-ие, вычи-ие, отнош-ие порядка на Z совпа-ет с одноименной операцией и отноше-ем над теми же числами на м-ве Q

·  на м-ве Q всегда выпол-ся опер-ия деления, кроме деления на 0

·  м-во Q линейное, в кот-ом выпол-ся треб-ия 1-3 элементами Q наз-ся рациональные числа.

Чтобы док-ть сущес-ие этого м-ва нужно построить м-во, явл-щееся интерпретацией данного опред-ния. Рас-м м-во

Z*(Z {0}={<a, b> | a, b εZ, b≠0})=Q

Введем на м-ве Q бинарное отно-ние p <a, b>p <c, d> óad=bc

Докажием, что отнош-ие p отнош-ие эквивалентно:

1.  рефлек-ть

V(<a, b> εQ) <a, b>p<a, b> (ab=ba)

2.  симметричность

V <a, b>, <c, d>εQ

<a, b>p<c, d> => <c, d>p<a, b> (cb=da)

<a, b>p<c, d>=> ad=bc => cb=da, a, b,c, d εZ

3.  транзитивность

V <a, b>,<c, d>,<m, n>εQ

<a, b>p<c, d> <c, d>p<m, n>=> <a, b>p<m, n> (an=bm)

<a, b>p<c, d> => ad=bc

<c, d> p<m, n> => cn=dm

(ad) (cn)=(bc) (dm)

(an) (dc)=(bm) (dc) an=bm

Вывод: p- отнош-ие эквивалентности на Q <a, b> ~<c, d> óad=bc

Отно-ие эквив-ти порождает на Q разбиение на классы эквивал-ти. Каждый класс будем называть рациональным числом.

L=[<a, b>] a, b εZ, b≠0

L←<a, b>

<a, b>→L

Обозначим м-во классов эквивал-ти {[<a, b>]}=Q

Покажем, что Q явл-ся интерпрета-ей опред-ия м-ва Q

Замечание: т. к. класс эквивал-ти вполне опред-ся любым своим представителем, то все эквивален-ые пары опред-ся одно и тоже рацион-ое число, а не эквивал-ые пары опред-ся различ-ые рацион-ые пары.

Два рацион-ых числа равны óкогда пары их определяющие эквивалентны.

Опре-ие: сумма 2х рацион-ых чисел L←<a, b>, B←<c, d> назыв-ся число L+B←<ad+bc, bd>, при этом пару <ad+bc, bd> называют сумма = <ab>+ <cd>

Т1Сумма рацион-ых чисел сущест-ет и един-на

Д-во: сущест-ние

L← <a, b> L+B←<ad+bc, bd>, bd≠0

B←<c, d>

Т. к. сумма рацион-ых чисел сводится к нахождению суммы и произведению целых чисел, то сущест-ние суммы рацио-ых чисел следует из сущест-ия произ-ия и суммы целых чисел =>сущест-ие доказано.

Единственность.

ПустьL←<a, b>~<a1,b1> b, bc≠0

B←<c, d>~<c1,d1> d, d1≠ 0

=> <a, b>+<c, d>~<a1,b1>~+<c1,d1>

(<ad+bc, bd>~<a1d1+b1c1,b1d1> (ad+bc)*b1d1=bd (a1d1+b1c1))

<a, b>~<a1,b1>=> ab1=ba1 (*dd1)

<c, d>~ <c1,d1> => cd1=dc1 (*bb1)

(ab1)*(dd1)=(ba1)*(dd1)

(cd)*(bb1)=(dc1)*(bb1)

(ad)(b1d1)=(bd)(a1d1)

(bc)(b1d1)=(bd)(b1c1)

(ad)(b1d1)+ (bc)(b1d1)=(bd)(a1d1) + (bd)(b1c1)

(ad+bc)*b1d1=bd (a1d1+b1c1)

В силу того, что сумма рацио-ых чисел не зависит от выбора пар их порождающих. Делаем вывод, что суммма рацио-ых чисел един-на.

Т2Сложение рацио-ых чисел коммунитативна и ассоциативна.

Т3(Œ0εỖ) (VLεỖ)L+0=L