Уравнение в полных дифференциалах

и уравнение преобразуется к виду ) или ) = (, является однородным уравнением.

Этот метод не применим, только если прямые a1x + b1y + c1 = 0 a2x + b2y + c2 = 0 параллельны, но в этом случае a1= кa2 b2= kb1 и уравнение может быть записано в виде f ( которое, как и ранее с заменой, z= , преобразованное уравнение с разделёнными переменными.

Уравнение в полных дифференциалах.

Дифференциальное уравнение вида , называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция двух переменных u(x, y) с непрерывными частными производными, что справедливо выражение :

Общее решение уравнения в полных дифференциалах определяется формулой где C − произвольная постоянная.

Необходимое и достаточное условие

Пусть функции P(x, y) и Q(x, y) имеют непрерывные частные производные в некоторой области D. Дифференциальное уравнение P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 будет являться уравнением в полных дифференциалах тогда и только тогда, если справедливо равенство:

Алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах:

1.  Сначала убедимся, что дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, используя необходимое и достаточное условие:  

2.  Затем запишем систему двух дифференциальных уравнений, которые определяют функцию u(x, y):
 

3.  Интегрируем первое уравнение по переменной x. Вместо постоянной C запишем неизвестную функцию, зависящую от y:  

4.  Дифференцируя по переменной y, подставим функцию u(x, y) во второе уравнение:  

Получим:  

5.  Интегрируя последнее выражение, находим функцию φ(y) и функцию u(x, y):  

6.  Общее решение уравнения в полных дифференциалах записывается в виде:

Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Лагранжа.

ЛОДУ п-го порядка – уравнение линейное относительно неизвестной функции и её производных и значит имеющие вид:

+ a1 (x) + … + (x) * + (x) y= (x) (3.1)

Если (x)≡0 , то уравнение называется линейным однородным, так как оно однородно относительно некоторой неизвестной у и её производных. Если коэффициент ни в одной точке некоторого отрезка a, то разделив на приведем уравнение к виду :

+ Р1 (x) + … + (x) y’ + (x) y = 0 (3.2)

или =-

Метод Лагранжа

Вариации произвольных постоянных

Для нахождения общего решения (y’’ + p1 (x) y’ +p2(x) y = f (x) (5.1) ) необходимо найти частное решение .

Его можно найти из общего решения уравнения (5.2) некоторых вариаций произвольных постоянных

= + (5.6)

= + + +

= + + +

Подставим в (5.1)

+ + + + p1(x) + + p2(x) +=f (x)