Уравнение лагранжа

Такая функция µ называется интегрируемым множеством. Заметим, что умножение может привести к появлению посторонних решений, обращающих µ(x, y) в 0

В общем случае не всегда так легко удаётся найти интегрир. множитель.

Вообще, надо подобрать хотя бы одно ненулевое решение уравнения:

(2.11)

Вообще задача интегрирования (2.11) ничуть не проще задачи интегрирования (2.10)

Однако, если мы можем считать µ функцией только одной переменной будь то x, y, х2+у2 и т. д., то задача существенно упрощается.

Например, найдём условие, когда µ можно найти как функцию от х

; считаем это выражение непрерывной функцией х.

Проинтегрируем и получим

Ln µ =

M= C * (2.12)

Можно считать c=1, так как нам нужен хотя бы один интегрирующий множитель

Если является функцией только x, то интегрирующий множитель найдется по формуле(2.12)

Аналогично можно выписать условие при которых интегрирующий множитель зависит от другой выбранной переменной.

Уравнение Лагранжа.

) и дифф. по х получим

(2.13)

(2.14) – это уравнение будет линейным по отношению к х и и легко интегрир., например, методом вариации произвольной постоянной.

Получив интеграл Ф(х, р,с) =0 уравнение (2.14) получим уравнение опред. искомые интегр. кривые. При делении на мы потеряли реш., если они сущ., для которых р постоян., а значит

Если p=const, то уравнение (2.13) удовлетворяет только в случае, если

Если уравнение имеет действительные корни, то к найденным решениям надо ещё добавить p=pi

; p=pi ; , p=pi ; . Отдельно нужно рассматривать случай, когда и сл-но при делении на теряется решение р=с, где с – произв. постоянная. В этом случае тогда

Уравнение Клеро.

( ; ) уравнение Клеро

; Дифференцируем и получаем: откуда => => p=c

В первом случае, исключив р получаем: (2.15) — однопараметрическое семейство интегральных прямых. В другом случае, решение определяется уравнениями: (2.16)

При чём, уравнение (2.16) называется огибающей семейства прямых (2.15)

Теорема существования и единственности решения

Уравнение

Со времен Эйлера дифференциальные уравнения приближённо решали численными методами. Это связанно с тем, что лишь немногие уравнения интегрируются в квадратурах. В связи с развитием компьютерной техники становится проще решать уравнения с заданной точностью. Однако, для численного решения нужно быть уверенным в существовании решения и его единственности. Для уравнения достаточным условием существования и единственности решения даны в след. теореме

Теорема 2.1:

Пусть в уравнение (2.17) функция f(x, y) непрерывна в прямоугольнике D

D: x0 – a<=x<=x0 +a

y0 – b<=y<=y0 +b

И удовлетворяет условию Липшица:

(условие Липшица) , где N= const , тогда существует единственное решение y=(x), H+H. Удовлетворяет условию y ()=, где H<min (a; ; ) ; M – max f (x, y) в D

Уравнение Бернулли.

Делают замену Z = дифференцируя получим

(1 – n ) и подставляя в (2.7) получим линейное уравнение

+ p (x) z = f (x)

Задача Коши для дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.

  Найти u (x1 ,.., xn), удовлетворяющую дифференциальному уравнению: