Угол между 2-мя векторами

14. Угол между 2-мя векторами.

Угол между векторами a1{X1;Y1;Z1},a2{X2;Y2;Z2} можно найти по формуле

Условие коллинеарности:

Векторы назыв коллинеарными если они || одной плоскости

Если векторы a1{X1;Y1;Z1},a2{X2;Y2;Z2} коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны X2: X1= Y2: Y1= Z2: Z и обратно. Если коэффициент пропорциональности положителен, то векторы равнонаправлены, если отрицателен, то – противопол направ.

Условие компланарности:

Три вектора назыв компланарными, если они, будучи приведены к одному началу, лежат в одной плоскости

Условие (необходимое и достаточное) компланарности векторов a1{X1;Y1;Z1}, a2{X2;Y2;Z2},a3{X3;Y3;Z3} :

8. Кривые второго порядка (эллипс, парабола, гипербола)

Парабола и ее свойства.

Множество точек плоскости, координаты которых по отношению к системе декартовых координат удовлетворяет уравнению y=ax2, где х и у — текущие координаты, а — нек. число, наз. параболой.

Если вершина нах. в О(0,0), то ур-е примет вид

y2=2px-симметрично отн. оси ОХ

х2=2pу-симметрично отн. оси ОУ

Точка F(p/2,0) наз. фокусом параболы, а прямая x=-p/2 — ее директриса.

Любой точке М(х, у), принадлежащей параболе, расстояние до фокуса = r=p/2

Св-ва:

1. парабола предст. собой ¥ точек плоскости, равноотстающих от фокуса и от директрисы y=ax2.

Эллипс и его св-ва:

Кривая второго порядка наз. эллипсом если коэффициенты А и L имеют одинаковые знаки

Аx2+Cy2=d

ур.-е

наз. канонич. ур.-ем эллипса, где При а=в представляет собой ур-е окружности х2+y2=а2

Точки F1(-c,0) и F2(c,0) — наз. фокусами эллипса а.

Отношение e=с/а наз. его эксцентриситетом (0<=e<=1)

Точки A1,A2,B1,B2 — вершины эллипса.

Св-во:
Для любой точки эллипса сумма расстояний этой точки до фокусов есть величина постоянной, =2а.

Гипербола и ее св-ва.

Кривая 2го порядка наз. гиперболой, если в ур-ии Ax2+Cy2=d, коэффициент А и С имеют противоположные знаки, т. е. А*С<0

б) Если d>0, то каноническое ур-е гиперболы примет вид: x2/a2-y2/b2=1, F1(c, o) и F2(-c,0) — фокусы ее, e>0, e=c/a — эксцентриситет.

Св-во:
для любой точки гиперболы абсолютная величина разности ее расстояний до фокусов есть величина постоянная = 2а.

б) если d=0, ур-е примет вид x2/a2-y2/b2=0, получаем 2 перекрестные прямые х/а±у/b=0

в) если d<0, то x2/a2-y2/b2=-1 — ур-е сопряженной гиперболы.

10. Проекция вектора на ось

Выражение «проекция вектора АВ на ось ОХ» употребляется в двух разных смыслах: геометриче­ском и алгебраическом (арифметическом).

1. Проекцией (геометрической) вектора АВ на ось ОХ называется вектор А’В’ , начало которо­го А’ есть проекция начала А на ось ОХ, а конец В’ — проекция конца В на ту же ось.

Обозначение: Прох АВ или, короче, Пр АВ. Если ось ОХ задана вектором с, то вектор А’В’ на­зывается также проекцией вектора АВ на направле­ние вектора с и обозначается Прс АВ.

Геометрическая проекция вектора на ось ОХ на­зывается также компонентой вектора по оси ОХ.

2. Проекцией (алгебраической) вектора АВ на ось ОХ (или на направление вектора с) называется длина вектора А’В’, взятая со знаком + или -, смотря по то­му, имеет ли вектор А’В’ то же направление, что и ось ОХ (вектор с), или противоположное.

Обозначение: прох АВ или прс АВ.

Замечание. Геометрическая проекция (компо­нента) вектора есть вектор, а алгебраическая проек­ция вектора есть число.

Основные теоремы о проекциях вектора

Теорема 1. Проекция суммы векторов на ка­кую-либо ось равна сумме проекций слагаемых векто­ров на ту же ось.

Теорема справедлива при обоих смыслах термина «проекция вектора» и при любом числе слагаемых; так, при трех слагаемых

Пр (а1+ а2 + а3) = Пр а1 + Пр а2 + Пр а3 (1) и

np(а1 + а2 + а3) = пра1 + пра2 + пра3. (2)

Теорема 2. Алгебраическая проекция вектора на какую-либо ось равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и вектором:

пр. b = |b| cos (а^b). (3)

12.Операции над векторами:

1.Произведение вектора ā на число назыв вектор α*ā, модуль которого = |α|*|ā|, а направление совпадает с направлением вектора ā если α > 0 и противоположны ему если α<0

2.Анологичное правило для деления

3.Суммой векторов ā1,ā2,…,ān назыв вектор обознач ā1+ā2+…+ān= ā1, начало которого находится в начале вектора ān, ломаной линии составлен из последов слогаемых векторов (правило замыкания ломоной)

4.Анологичное правило для вычитания

13. Скалярное произведение 2-ух векторов и его свойства

Скалярным поизведением ā и đ назыв число ā*đ равное |ā|*|đ|*cos(ā;đ), где (ā;đ) – наименьший угол между направл ā и đ.

Свойства:

1)  ā*đ=đ*ā

2)  (λ*ā)*đ=ā*(λ*đ)=λ*(ā*đ)

3)  ā*(đ+ē)=ā*đ+ā*ē

4)  ā*đ=|ā|*ПРāđ=|đ|*ПРđā

5)  ā*ā=ā2=|ā|2

6)  Если ā и đ ненулевые, то ā*đ=0 (ā┴đ)

7)  Пусть в отронормиров базисе

ā=(x1,y1,z1)

đ=( x2,y2,z2)

ā*đ= x1* x2+ y1* y2+ z1*z2

|ā|=

16.Уравнение прямой в пространстве

1.Кононическое ур-ние прямой(по точке и направленному вектору): Рассмотрим М. Для того, чтобы М принадлежала прямой нужно ⃓⃓ М0М=(x-x0, y-y0, z-z0) t===. Знаменатель может превращаться в 0(символическая запись)

2.Параметрическое уравнение:

=>

3.Ур-ние по 2 точкам: М Є прямой, когда М1М2⃓⃓ М1М. М1М2=(x2-x1, y2-y1, z2-z1), М1М=(x-x1, y-y1, z-z1)

==.

4. Общее ур-ние прямой: , n1 не ⃓⃓ n2, ⊥1, ⊥2

Угол прямыми: .