Учебное пособие по тфкп

ГЛАВА 1
интегрирование функций комплексного
переменного.………………..………………………………………………4

1.1. Основные понятия. Геометрическая интерпретация.

Формы записи. Свойства…………………………………………………4

1.2. Способы вычисления интегралов. Интеграл от аналитической

функции. Независимость интеграла от пути интегрирования.

Основные методы интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница………8

1.3. Интеграл по замкнутому контуру от аналитической функции.

Теорема Коши для односвязной и для −связной области.

Интегральная формула Коши……………………………………………24

1.4. Задачи для самостоятельной работы (по главе 1)…………………..37

Глава 2
Ряды в комплексной области……………………………….…….44
2.1. Числовые ряды. Основные понятия………………………………..44

2.2. Функциональные ряды. Область сходимости.

Равномерная сходимость. Свойства.

Степенные ряды с комплексными членами………………………..……49

2.3. Ряды Тейлора…………………………………………………………58

2.4. Задачи для самостоятельной работы (по главе 2) …………………69

Библиографический список…………………………….…73

Глава 1

интегрирование функций

комплексного переменного

1.1. Основные понятия. Формы записи. Геометрическая интерпретация. Свойства

кривая на плоскости задана параметрически .

Если функции и имеют непрерывные производные и , тогда эта кривая является гладкой на множестве T.

Гладкая кривая геометрически характеризуется существованием касательной к этой кривой в каждой точке, если . Направление касательной при движении точки по гладкой кривой изменяется непрерывно.

Рис. 1

Кривая является кусочно-гладкой, если ее можно разбить на конечное число гладких кривых. Например, кривые и (см. рис. 1) являются гладкими на каждом из интервалов и и кусочно-гладкими на общем интервале .

Интеграл от функции комплексного переменного , как и в действительной области, вводится как предел последовательности интегральных сумм.

Задают однозначную функцию , где и − действительные функции переменных и . Функция определена и непрерывна в некоторой области .

Выбирают – гладкую или кусочно-гладкую кривую, целиком лежащую в области . Кривая разбивается произвольным образом на частей  , .

на кривой выбирают направление (начальная и конечная точка).

− произвольная точка, выбранная на дуге разбиения кривой.

− приращение аргумента функции на этом участке разбиения.

− длина хорды, соединяющей концы дуги .

Интегралом от функции по кривой называется предел интегральных сумм

, (1)

если он существует и не зависит от способа разбиения и выбора произвольных точек.

Формула (1) определяет криволинейный интеграл от функции комплексного переменного. Интеграл обозначается как

. (2)

Для замкнутого контура применяется следующее обозначение:

. (3)