Тригонометрический ряд фурье

35.Тригонометрический ряд Фурье. 2П – периодическая функция. Теорема Дирихле.

Тригонометрическим рядом называется ряд вида:

, где — коэффициенты ряда.

Теорема Дирихле (достаточные условия разложения функции в ряд Фурье): Пусть — периодическая функция f(x) на отрезке [-] удовлетворяет двум условиям:

1.f(x) – кусочно-непрерывная, т. е. непрерывная или имеет конечное число разрывов первого рода;

2.f(x) – кусочно-монотонна, т. е. монотонна на всем отрезке или этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов, что на каждом из них функция монотонна, тогда соответствует функции f(x) ряд Фурье сходится на этом отрезке и при этом:

1.в точках непрерывности функции, сумма ряда S(x) совпадает с самой функцией, т. е. S(x) = f(x);

2.в каждой точки разрыва функции, сумма ряда равна: , т. е. равна среднему арифметическому пределов функции f(x) справа и слева;

3.на концах интервала, т. е. в точках , , сумма ряда равна: ;

Вывод: Если функция f(x) удовлетворяет условиям 1 и 2 теоремы Дирихле, то на отрезке [-] имеет место разложение: , коэффициенты вычисляются по формулам: ; ; . Это равенство может нарушится только в точка разрыва функции и на концах отрезка.

Замечания:

1.Если функция f(x) с периодом , на отрезке [] удовлетворяет теореме Дирихле, то для вычисления коэффициентов , берутся интегралы в пределах [];

2.Условия Дирихле удовлетворяют большинство функций встречающихся в математике;

36.Разложение в ряд Фурье чётных и не чётных функций.

Если периодическая функция является четной и нечетной, то вычисление коэффициентов Фурье упрощается, а сам ряд Фурье становится неполным.

Из свойства определенного интеграла известно: Если функция f(x) интегрируется на симметричном отрезке [-a;a], то:

Рассмотрим случаи:

1.Если f(x) – четная, то – четная;

– нечетная;

2.Если f(x) – нечетная, то – нечетная;

–четная;

Следовательно:

1.Если f(x) – четная, то: ;

;

Тогда коэффициенты Фурье имеют вид: ;

;

;

Ряд Фурье для четной функции f(x) имеет вид: (1)

2.Если f(x) – нечетная, тогда: ;

;

Коэффициенты Фурье: ;

;

;

Ряд Фурье для нечетной функции: (2)

Ряды (1) и (2) называются по косинусам и синусам.

37.Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода.

Разлагать в ряд Фурье можно и периодическую функцию с периодом от .

Пусть функция f(x), определенная на отрезке [], имеет период , где – произвольное положительное число) и удовлетворяет на этом отрезке условиям Дирихле. Сделав подстановку, данную функцию f(x) преобразуем в функцию , которая определена на отрезке [-] и имеет период . Действительно, если , то , если , то и при имеем ;

т. е.

Разложение функции в ряд Фурье на отрезке [-] имеет вид:

где

Возвращаясь к переменной x и заметив, что , , получим:

(1)

где (2)

Ряд (1) с коэффициентами вычисляемыми по формулам (2) называются рядо Фурье для функции f(x) с периодом .

Замечание: Все теоремы имеющие место для рядов Фурье –периодических функций, остаются в силе и для рядов Фурье функций, период которых . В частности, если f(x) на отрезке [] – четная, то ее ряд Фурье имеет вид:

где

Если f(x) – нечетная функция, то

где

1.Функция двух переменных. Определение. Геометрическое изображение.

2.Частные производные первого порядка функции двух переменных. Геометрический смысл.

3.Частные производные высших порядков функции двух переменных.

4.Экстремум функции двух переменных.

5.Наименьшее и наибольшее значения функции двух переменных в замкнутой области.

6.Двойной интеграл. Основные понятия. Геометрический смысл двойного интеграла.

7.Физический смысл двойного интеграла. Свойства двойного интеграла.

8.Вычисление двойного интеграла.

9.Замена переменных в двойном интеграле. Переход к полярным координатам.

10.Геометрические и физические приложения двойного интеграла.

11.Тройной интеграл. Основные понятия, свойства тройного интеграла.

12.Вычисление тройного интеграла.

13.Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические координаты.

14.Дифференциальные уравнения I порядка. Основные понятия. Задача Коши.

15.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные Дифференциальные уравнения.

16.Линейные Дифференциальные уравнения I порядка. Решение методом Бернулли.

17.Линейные ДУ I порядка. Решение методом вариации произвольной постоянной.

18.Дифференциальные уравнения I порядка Бернулли. Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия. Задача Коши.

19.Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка (3 типа).

20.Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Решение для случая действительных различных корней.

21.Решение линейных однородных дифференциальных уравнений для случая комплексных и кратных корней.

22.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Структура общего решения.

23.Нахождение частного решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами по специальному виду правой части.

24.Знакоположительные числовые ряды. Ряд геометрической прогрессии.

25.Свойства числовых рядов. Необходимые условия сходимости ряда.

26.Достаточные признаки сходимости: признак Даламбера, радикальный признак Коши.

27.Достаточный признак сходимости: интегральный признак Коши. Сходимость обобщённого гармонического ряда.

28.Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.

29.Функциональные ряды. Область сходимости. Сходимость ряда .

30.Степенные ряды . Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

31.Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.

32.Разложение в ряд Маклорена функций еx , sin x.

33.Приложение степенных рядов. Приближенное вычисление значений функций. Вычислить sin1 с точностью δ= 10-3.

34.Приложение степенных рядов. Приближенное вычисление интегралов. Вычислить интеграл с точностью δ= 10-3.

35.Тригонометрический ряд Фурье. 2П – периодическая функция. Теорема Дирихле.

36.Разложение в ряд Фурье чётных и не чётных функций.

37.Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода.