Учебные материалы по математике | Тригонометрические функции тфкп | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Тригонометрические функции тфкп


  (2.5)

имеет решение при любом . Для решения рассмотрим  в тригонометрической форме . Тогда

,

поэтому

  и 

для некоторого целого . Значит  уже найдено, а . Таким образом решение уравнения (2.5) имеет вид , где  — любое целое число.

  С другой стороны решение этого уравнения естественно назвать комплексным логарифмом. Комплексный логарифм будет обозначать через . Следовательно,

Таким образом комплексный логарифм существует для любых неравных нулю комплексных чисел, в том числе и для отрицательных. Правда, эта дополнительная возможность несколько омрачается тем, что у любого числа определено бесконечно много различных комплексных логарифмов.

  Тригонометрические функции. Из равенства (2.2) вытекает знаменитая формула Эйлера

для вещественных .

Далее

.

Из двух последних равенств следует, что

.        (2.6)

  Поэтому естественно положить

.                                (2.7)

  Так определенные функции будут заданы при всех комплексных  и при вещественных  (то есть при ) будут, в силу (2.6), совпадать с  и  соответственно.

  Из (2.7) непосредственными вычислениями можно показать, что все формулы сложения, формулы приведения для тригонометрических функций переносятся с вещественной на комплексную переменные. Для иллюстрации проверим знаменитое равенство

.

  В самом деле

  В вещественном анализе из этого тождества делается вывод о том, что синус и косинус – ограниченные функции. В случае комплексных переменных это не так. Более того, оказывается, что на комплексной плоскости эти две функции принимают все комплексные значения. То есть уравнения

имеют решения при любых .

  Рассмотрим для краткости только случай косинуса

.

Тогда

  и  .

Положим , тогда

,

и поэтому

.

(Заметим, что теперь корень можно извлечь из любого комплексного числа.) Значит

,

поэтому

,

если . Из формул Виета следует, произведение корней  и  равно единице (свободному члену в квадратном уравнении), поэтому ни , ни  неравны нулю. Следовательно, решение

существует при любом .

  В частности, решение уравнения  естественно назвать . Таким образом получим, что

.

Аналогично можно показать, что

.

Уравнение  имеет решение

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод