Тригонометрические функции тфкп

  (2.5)

имеет решение при любом . Для решения рассмотрим  в тригонометрической форме . Тогда

,

поэтому

  и 

для некоторого целого . Значит  уже найдено, а . Таким образом решение уравнения (2.5) имеет вид , где  — любое целое число.

  С другой стороны решение этого уравнения естественно назвать комплексным логарифмом. Комплексный логарифм будет обозначать через . Следовательно,

Таким образом комплексный логарифм существует для любых неравных нулю комплексных чисел, в том числе и для отрицательных. Правда, эта дополнительная возможность несколько омрачается тем, что у любого числа определено бесконечно много различных комплексных логарифмов.

  Тригонометрические функции. Из равенства (2.2) вытекает знаменитая формула Эйлера

для вещественных .

Далее

.

Из двух последних равенств следует, что

,  .        (2.6)

  Поэтому естественно положить

,  .                                (2.7)

  Так определенные функции будут заданы при всех комплексных  и при вещественных  (то есть при ) будут, в силу (2.6), совпадать с  и  соответственно.

  Из (2.7) непосредственными вычислениями можно показать, что все формулы сложения, формулы приведения для тригонометрических функций переносятся с вещественной на комплексную переменные. Для иллюстрации проверим знаменитое равенство

.

  В самом деле

  В вещественном анализе из этого тождества делается вывод о том, что синус и косинус – ограниченные функции. В случае комплексных переменных это не так. Более того, оказывается, что на комплексной плоскости эти две функции принимают все комплексные значения. То есть уравнения

, 

имеют решения при любых .

  Рассмотрим для краткости только случай косинуса

.

Тогда

  и  .

Положим , тогда

,

и поэтому

.

(Заметим, что теперь корень можно извлечь из любого комплексного числа.) Значит

,

поэтому

,

если . Из формул Виета следует, произведение корней  и  равно единице (свободному члену в квадратном уравнении), поэтому ни , ни  неравны нулю. Следовательно, решение

существует при любом .

  В частности, решение уравнения  естественно назвать . Таким образом получим, что

.

Аналогично можно показать, что

.

Уравнение  имеет решение