Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Плоскость, точки которой являются изображением комплексных чисел, называется комплексной плоскостью, ее обозначают символами (Z) или (W).

Легко видеть, что действительные числа а = (а,0) изображаются точками оси иксов (oX), поэтому ось абсцисс называется действительной осью.

Мнимые числа с = (a,b) = a+i·b (b ≠ 0) изображаются точками, не лежащими на оси абсцисс. Чисто мнимые числа c = (0,b) = b·i (b ≠ 0) изображаются точками оси ординат, поэтому эту ось в комплексной плоскости называют мнимой осью.

Начало координат (0,0) является изображением комплексного числа 0, поэтому оно называется нулем. Отметим, что комплексные числа Z=x+i·y=(x,y) также изображаются векторами плоскости с проекциями x и y. Начало вектора может быть помещено в любую точку.

Изобразим комплексное число Z = (x,y) = x+i·y вектором, начало которого помещено в нуль.

Длина этого вектора очевидно равна и называется модулем комплексного числа Z и обозначается .

Угол, который составляет этот вектор с положительным направлением действительной оси, называется аргументом комплексного числа Z и обозначается ArgZ. Этот угол определяется неоднозначно, а с точностью до слагаемых кратных 2π. Отметим, что направление отсчета углов против часовой стрелки принимают за положительное, а по часовой стрелке за отрицательное.

Среди бесконечного множества значений ArgZ есть одно такое, которое содержится в полуинтервале , оно называется главным значением аргумента числа Z и обозначается символом argZ.

Очевидно ArgZ = argZ+2πk (к = 0, 1, 2,…). Легко доказывается, что для комплексных чисел Z = x+y·i

argZ =

5. Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Из чертежа непосредственно видно , . Отсюда следует, что (1) – тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Геометрическое истолкование суммы, разности, произведения и частного двух комплексных чисел

Пусть нам даны два комплексных числа с1 = а1 + b1·i и с2 = а2 + b2·i. Составим их сумму с = с1 + с2 = (а1 + а2) + i·(b1 + b2). Изобразим с1 и с2 векторами с началом в нуле. Построим на них параллелограмм.

Очевидно сумма с=с1+с2 изображается вектором диагонали параллелограмма, построенного на векторах с1 и с2 с началами в нуле. Т. е. сумму можно находить по правилу сложения векторов.

Из чертежа непосредственно следует, что (2) – это неравенство распространяется на любое число слагаемых.

Рассмотрим теперь разность с = с1-с2, где с1 = а1+b1·i и с2 = а2+b2·i. Очевидно с = (а1-а2)+i·(b1—b2) или с = с1+(-с2).

Нетрудно видеть, что вектор (-с2) получается из вектора с2 изменением направления на противоположное. Вектор с = с1-с2 получается в результате сложения вектора с1 и (-с2). Таким образом число с = с1-с2 изображается вектором, соединяющим точки с1 и с2, причем начало его помещено в точке с2, а конец в точке с1. Модуль разности с1-с2 есть расстояние между точками с1 и с2.

Из чертежа непосредственно видно, что , можно показать, что ;

Равенство имеет место только в том случае, когда эти векторы коллинеарные.

Возьмем два произвольных комплексных числа: , и составим их произведение с = с1·с2 = |с1|·|c2|·[(сosArg с1 · сosArg с2 — sinArg с1 · sinArg с2)+i·(sinArg с1 · сosArg с2 + сosArg с1 · sinArg с2)] = |с1|·|c2|·[cos(Arg с1 + Arg с2) + i·sin(Arg с1 + Arg с2)]. Следовательно |c| = |с1|·|c2| =|с1·c2|, Arg c = Arg(с1·с2) = Arg с1+Arg с2 (сумма аргументов – алгебраическая сумма). Отметим, что Arg c2 = Arg c + Arg c и не равно 2·Arg c. Но можно Arg c2 = 2·arg c + 2кπ. Таким образом комплексное число с = с1·с2 изображается вектором, который получается из вектора с1 путем его растяжения в |c2| раз и путем поворота полученного вектора на угол Arg с2.

Легко устанавливается, что модуль произведения любого конечного числа чисел равен произведению их модулей и аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей Arc(c1·…·cn)=Argс1+…+Argcn. В частности есть с1 = с2 = … = сn, то , Arg сn=Arg c+…+Arg с = n·arg с+2кπ (k = 0, 1, 2, …). Таким образом

cn = |c|n·(сos nArg с+ i·sin nArg с), n ≥ 2 (3)

Полученная формула называется формулой Муавра. Часто формулой Муавра называют другую формулу (cosφ+i·sinφ)n = cos nφ+ i·sin nφ (4)