Трактовка свойств отношения «меньше»

Т. к. одному и тому же конечному мн-ву может соотносить лишь 1 натуральное число, то вся совокупность конечного мн-ва распадается на классы равномощного мн-ва.

Пр-р: мн-во пальцев на одной руке

С теоретикомножественной позиции на число 0 можно смотреть как на качественную характеристику пустого множества.

Для получения количественной характеристики того или иного множества в начальной школе применяется процедура пересчёта предметов, при этом используют порядковые натуральные числа, тем самым подчеркивается связь между порядковым и количественным натуральными числами.

Теоретико-множественная трактовка свойств отношения «меньше»

Na {x є N│ x ≤ a}

a<b => сущ-ет c є N│ b=a+c

Nb = {x є N│ x ≤ b}

В силу транзитивности отношения «меньше» из x ≤ a, x<b => x подмножество b, т. е. Na подмножество Nb (любой элемент множества Na является элементом множества Nb)

Таким образом с теоретикомножественной позиции неравенство a<b означает, что Na является собственным подмножеством отрезка натурального ряда Nb

a<b, b<c => a<c

=> (для любых А, В, С) (А принадлежит В и В принадлежит С => А принадлежит С) справедливо свойство транзитивности отношения включения множеств

a<b => отрицание b<а

А принадлежит В => отрицание В принадлежит С

0<a

(Ø принадлежит A) ( для любого А)

Пр-р: 4<7 => {1,2,3,4} принадлежит {1,2,3,4,5,6,7}

В начальной школе для установления отношений между числами выполняются практические упражнения, связанные с работой с элементами конечных множеств.

Возьмем 4 розовых квадратика и 7 синих кружков

□□□□ 4 число квадратиков

○○○○○○○ 7 число кружков

наложить квадратики на кружки => 4<7

Обозначим через А множество розовых квадратиков

В – множество синих кружков

А, В; В1( 3 кружка) включается в В

В1 равномощно А

Таким образом для установления неравенства натуральных чисел необходимо выделить собственное подмножество конечного множества, жизненный опыт подсказывает, что любое непустое подмножество конечного множества само оказывается конечным, но этот факт нуждается в доказательстве:

Теорема: Любое непустое подмножество конечного мн-ва конечно.

Пусть дано, что А – конечное мн-во, то его можно взаимно отобразить на некоторый отрезок натурального ряда. A→ Na. Докажем методом индукции, что любое непустое подмножество конечного мн-ва Na конечно. Покажем, что при условии а=1 данное условие выпол-ся, т. е.любое непустое подмн-во мн-ва N1 конечно. N1={1} одноэлементное мн-во имеет только одно непустое подмн-во, т. е. это N1. N1 – конечно, потому что при а=1 утверждение доказано.

Предположим, что любое непустое подм-во отрезка Nа оказывается

конечным и рассмотрим некоторое непустое подмножество X отрезка Nа+1

Nа, х≠ Ø(для любого х).

Если а+1 не принадлежит множеству X, тогда => X принадлежит Nа и по предположению мн-во X оказывается конечным.

Если же а+1 принадлежит множеству X и во мн-ве X нет других элементов, то X={ а+1} – тогда оно конечное

Втом случае когда а+1 є X и во множестве X есть другие элементы рассмотрим мн-во

X { а+1} – оно не пустое

X { а+1} принадлежит Nа

это множество является подмножеством множества Nа и по предположению конечно => и множество X отличающееся от данного только элементом а+1 оказывается конечным.

8. Теоретико-множественный подход к сложению целых неотрицательных чисел. Существование и единственность суммы. Законы сложения.

Пример: объясним, почему 3+2=5

А={а,b,c} B={x,y}

n(A)=3 n(B) =2

○○○ A ○○ B

AUB={а,b, c,x, y,}, n (AUB)=5

A, B не пересекаются (A∩B=Ø) A∩B=5

Таким образом, с теоретико-множественной точки зрения сложение двух натуральных чисел сводятся к отыскиванию числа элементов в объединении двух непересекающихся множеств.

Теорема: для любого отрезка натурального ряда Nb, существует взаимнооднозначное отображение

f: Nb →X, где X={xєN| a+1≤x≤a+b}

f(x)=x+a

Пример: A={1,2,3,4,5} , B ={4,5,6,7,8} cє A=> x=c+3 , 1 → 1+3=4; 2 → 2+3=5 Обобщим на случай натуральные числа a,b, таким обр., всякому элементу с из Nb поставим в соответствие элемент x=c+а

Существование и единственность суммы:

Теорема: число элементов объединения двух непересекающихся множеств равно сумме чисел элементов этих множеств.

Док-во: A=B, A∩B=Ø, n(A)=а, n(B)=b

a→Na

b→Nb

Согласно предыдущей теореме множество Nb оказывается равномощно мн-ву X

Nb равномощно X={xєN| a+1≤x≤a+b}

AUB равномощно Na+b, т. к. а→Na => n (AUB)=a+b= n(A)+ n(B)

A равномощно Na

B равномощно Nb равномощно X

1,2,…….а=А

а+1,……а+b=B

Вывод: Теоретико-множественное истолкование сложения двух натуральных чисел заключается в следующем: суммы элементов a и b есть число элементов в объединении двух конечных непересекающихся мн-вах A и B причем a=n(A), b=n(B).

Замечание: важно отметить, что в том случае, когда мн-ва А и B пересекаются доказанная формула оказывается неверной.

Теоретико-множественную трактовку допускают и законы сложения:

1) (Для любых a,b єN ) a+b=b+a (коммутативный закон)

a=n(A), b=n(B), A∩B=Ø. Из теории мн-в известно, что АUB=BUA, т. к. A и B конечны, значит объединение конечно, то и число элементов конечно и равно. n(АUB)=n(BUA) => n(A)+n(B)=n(B)+n(A)=> a+b=b+a

Таким образом коммутативный закон сложения чисел основан на коммутативности операции объединения множеств.

2) Ассоциативный закон сложения вытекает из ассоциативного закона объединения множеств

(Для любых a, b, c єN ) (a+b)+c=a+(b+c)

a=n(A), b=n(B), A∩B=Ø. (АUB) UC=AU(BUC), т. к. A и B конечны=> n ((АUB) UC)=n(AU(BUC)) => n(АUB)+ n(C)=n(A)+n (BUC)=> (n(А)+n(B)) +n(C)=n(A)+(n(B)+n(C)) => (a+b)+c=a+(b+c)

3) (Для любых a єN ) a+0=a

a=n(A), 0=n(Ø), AU Ø=A. n (AU Ø) = n (A)=> n (A)+ n (Ø)=n(A)=> a+0=a

Определение сложения k натуральных чисел можно вывести из определения двух натуральных чисел, используя индукцию по числу слагаемых, т. е. а1+а2, а1+а2+…+аk+аk+1= (а1+а2+…+аk)+ аk+1

На сумму k слагаемых распространяются законы сложения.

Теорема: Пусть A1, A2,…,Ak непустые конечные попарно непересекающиеся мн-ва, тогда их объединение конечно (A1U A2 U… U Ak) и число их элементов равно сумме числу элементов каждого мн-ва n(A1U A2 U… U Ak)= n(A1)+n(A2)+… +n(Ak)