Точки разрыва и их классификация
lim= ∞), то β наз. величиной высшего порядка малости относительно α; при этом α наз. величиной низшего порядка малости относительно β. 2)если отношение
двух бесконечно малых величин стремится к конечному пределу, не равному нулю, то α и β наз. бесконечно малыми одного и того же порядка малости. Эквивалентные бесконечно малые величины всегда имеют один и тот же порядок. 3)бесконечно малая величина β имеет т-й порядок иалости относительно относительно бесконечно малой α, если β имеет тот же порядок малости, что αт, т. е. если отношение
имеет конечный предел, не равный нулю.
30.Предел функции в точке. Односторонние пределы.
Число А наз. пределом ф-и у = f(х) в точке Х0 (при Х→ Х0 ) если для любого положительного числа ε можно найти такое положительное число δ, что для всех Х из проколотой δ-окрестности точки Х0 соответствует значение у попадают в ε-окрестность. f(х) =А. Число В наз. пределом ф-и у = f(х) в точке а справа, если для любого ε>0 найдется δ>0, такое что из условия 0<x—a< δ следует |B—f(x)|< ε. В= f(х). Число В наз. пределом ф-и у = f(х) в точке а слева, если для любого ε>0 найдется δ>0, такое что из условия 0<x—a< δ следует |B—f(x)|< ε. В=
f(х). Ф-я наз. непрерывной в точке а справа (слева), если
f(х)= f(а)
( f(х)= f(а)).
34. Точки разрыва и их классификация.
Рассм. функцию y=f(x), определ. на интервале (a, b), кроме быть может, тчк. х0 x0 наз. точкой разрыва данной ф-ции, если в ней ф-ция определена, но не явл. непрерыв. или не определ. в этой точке.
Если х0 — точка разрыва ф-ции f(x) и сущ. конечные пределы ,то она наз.точкой разрыва первого рода.
Если х0 — точка разрыва и по крайней мере один из пределов явл. бесконечным или не сущ., то
наз. точкой разрыва второго рода.
35. Производная ф-ции. Гео. и эк. Смысл.
Производной ф-ции y=f(x) в тч. Х0 наз. предел отношения приращения этой ф-ции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.
Формула выражает геометрический смысл производной: производная от данной ф. в данной точке = tg угла наклона касательной графика ф-ции в этой тчк. Производительность труда есть производная объема продукции по времени. Рассмотрим некоторые понятия, иллюстрирующие экономический смысл производной. Пусть y(x) – ф-ция, характеризующая, например, издержки производства, где x — количество выпускаемой продукции. Тогда отношение
описывает средние издержки, приходящиеся на одно изделие. Средняя величина обозначается Ay или Af (от английского "average".) Среднее приращение, средний прирост, средняя скорость изменения определяется отношением
. Производная
выражает предельные издержки производства. Величину Mf(x) = y’ наз. мгновенным приростом или мгновенной скоростью изменения y. Аналогично можно определ. предельную выручку, предельный доход, предельную полезность и др. предельные величины.
Правила дифференцирования:
1.Производная сум.(разности) двух дифференц-ых ф-ций =сумме(разности) производных этих ф-ций
2.Производная произведения двух диффиренц-ых ф-ций = произведению первой ф-ции на роизводную второй + произведение второй ф-ции на производную первой:
3.Производная частного двух дифференц-ых ф-ций определ. формулой:
где
36. Произв. Сложной и обр. ф-ции. Табл. Производных.
Производная сложной ф.:Если и
-дифференцируемые ф. своих аргументов, то производная сложной ф.
сущ. и равна произведению производной этой ф-ции по промежуточному аргументу на производную промежуточного по независимой переменной, т. е.
,
.
Производная обратной ф.:Если y=f(x) и
— взимно-обратые дифференцируемые ф-ции и
,то
Действительно, т.к.
,то
Таблица производной
,
,
,
,
,
,
,
,