Типы точек покоя

— асимптатичная устойчивость

Заметим , что из условия (7.5) не следуете устойчивость решения = )

Из устойчивости решения не следует — его асимптатичности

Исследование на устойчивость решения системы (7.3) может быть сведено к исследованию на устойчивость тривиального решения

Тогда система (7.3)

= (t) (i =

= (t) (i = (7.6)

= + (t, + (t), +,…,+(t)) (7.7)

Решение = (t) уравнения (7.7), которое мы исследовали на устойчивости в силу замены = — I (t) соответствует тривиальному решению (7.7)

Поэтому мы будем исследовать на устойчивости точку покоя, расположенную в начале координат.

Условия устойчивости точки покоя : =0 (i= )

Устойчивость в смысле Ляпунова если для каждой ε0 можно подобрать δ; (ε) такое, что

То есть траектория начальная точка которой находится в точке окрестности начальной координаты при tT не выходит за пределы ε – окрестности начальной координаты.

Типы точек покоя. Узел, седло.

Исследуем расположение траектории в окрестности точки покоя: x=0, y=0

Система 2-ух линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами

(7.8)

0

Ищем решение в виде

x= y=

Для получения корней характеристического уравнения :

= 0

— ( + )k + (- + ) = 0

с точностью до постоянного множителя определяемого из одного из уравнений

(7.9)

Рассмотрим следующие случаи :

УЗЕЛ:

R ; R

(7.10)

и

При k=и при k=

и произвольная постоянная

< 0 < 0

X=0 y=0

Асимптатично устойчивы

Так как точки лежащие в любой δ – окрестности начальные координаты при достаточно большом tпереходе в точке лежащей в ε – окрестности начальной координаты

На рисунке (7.1) изображено расположение траектории для точки покоя данного типа – устойчивый узел.

СЕДЛО

0 < 0

x= y= (7.11)

Однако существует движение приближенное к началу координат :

x= y =

y= x

Движение (7.11) проходит по прямойy= x