Тфкп ответы на вопросы

Комплексное число – упорядоченная пара действительных чисел: z=(a, b) с установленным порядком следования чисел a и b. число а из пары a, b назыв. Действительной частью комплексного числа z и обозначается а=Re z;b — мнимая часть комплексного числа z и обозначается b=Im z.

числа вида 0 + ib называются чисто мнимыми. Часто просто пишут bi, например, 0 + i3 = 3i. Чисто мнимое число i1 = 1i = i обладает удивительным свойством:

геом. изображение: так как комплексное число определяется как пара действительных чисел, то его интерпритацией является изображение комплексного числа z=x+iy точка на плоскости xy. z=0 ставится в соответствие началу координат данной плоскости.

|z| = = r;

arg z= = arctg — аргумент комплексного числа;

Arg z = + 2 — главный аргумент;

z = r(cos + i*sin)= r;

= cos + i*sin — формула Эллера.

=+i=(cos+i*sin);

=+i=(cos+i*sin);

=(cos(+)+i*sin(+));

Формула Муавра для комплексных чисел  утверждает, что

(cos + i*sin), k=0,1,…,n-1;

= x-iy (операция комплексного Сопряжения — изменение знака у мнимой части)

z=|z=

Геометр. Смысл алгебр. операций

1)сложение

Каждой точке M(z) плоскости комплексных чисел взаимно однозначно соответствует вектор OM с началом в нулевой точке O. Поскольку сложение и вычитание векторов, заданных своими координатами, выполняются по тем же формулам, что сложение и вычитание соответствующих им комплексных чисел, то сложению и вычитанию комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, однозначно отвечает сложениеи вычитание соответствующих им векторов.

Именно, если a и b — комплексные координаты точек A и B, то число c=a+b является

координатой точки C, такой, что

OC=OA+OB

Комплексному числу d=a−b соответствует такая точка D, что

OD=OA−OB.

2)умножение

a1a2 = r1r2[cos(фи1 + фи2) + isin(фи1 + фи2)]:

аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей

Стереографическая проекция :

Стереографическая проекция преобразует каждую окружность на сфере в окружность или прямую в z-плоскости.

В силу изоморфизма между  и , алгебраические операции над комплексными числами переносятся на операции над соответствующими им радиус-векторами:

·  сложение комплексных чисел — это сложение соответствующих радиус-векторов;

·  умножение комплексных чисел — это преобразование радиус-вектора, связанное с его поворотом и растяжением.

Результатом компактификации комплексной плоскости является расширенная комплексная плоскость — комплексная плоскость, дополненная бесконечно удалённой точкой, изоморфная комплексной сфере. Комплексная плоскость связана с комплексной сферой, например, стереографической проекцией.

Сфера римана

Это сфера Римана (стереографическая проекция)

1) Область — множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих следующим двум условиям:

 1) Все точки этого множества внутренние

 2) Любые 2 точки этого множества можно соединить ломаной, лежащей в этой области

Область будем обозначать 

 — область с границей, замкнутая область

2) Область  называется односвязной, если она удовлетворяет следующему условию: какую бы замкнутую непрерывную кривую в этой области мы не взяли, часть плоскости, внутренняя по отношению кривой, такжу принадлежит этой области

Проще говоря, односвязная область — область без дыр

3) На комплексной плоскости задана функция , если указано правило, по которому каждому  ставится одно или несколько значений . В первом случае функция  однозначная, во втором — многозначная

 — однозначная

 — многозначная (-значная)

Однозначная функция комплексной переменной:

Если множество Е значений компл. переменной z представляет собой область G или замкнутую обл. G комплексной плоскости, то однозначная функция комплексной переменной z, заданная в обл. G, определяется законом, ставящим каждому значению z из обл. G в соответствие определённое компл. Число w.

W=F(z).

Функция f(z) называется однолистной функцией в области G, если в различных точках z этой области она принимает различные значения.(однолистная функция осуществляет взаимно однозначное отображение)

Предел и непрерывность:

Если независимо от выбора последовательности {Zn} существует единственный предел (Лим zn->z0 f(zn)=w0 ,то этот предел назыв. пределом функции f(z) в точке z0,записывается в виде

Лим z->z0 f(z)=w0

Непрерывность –

Область односистности –

, aC. (вместо a ставим n, для слоупоков)