Тесты по линейной алгебре

ЗАДАНИЕ N 1 сообщить об ошибке
Тема: Определители
Определитель не равный нулю может иметь вид …

ЗАДАНИЕ N 2 сообщить об ошибке
Тема: Операции над матрицами
Даны матрицы  и  Тогда матрица  имеет вид …

ЗАДАНИЕ N 3 сообщить об ошибке
Тема: Ранг матрицы
Ранг матрицы  равен …

ЗАДАНИЕ N 4 сообщить об ошибке
Тема: Обратная матрица
Для матрицы  не существует обратной, если значение x равно …

Решение:
Матрица не имеет обратной, если определитель матрицы равен нулю, то есть

  ЗАДАНИЕ N 5 сообщить об ошибке
Тема: Системы линейных уравнений
Методом Крамера не может быть решена система линейных уравнений …

Решение:
Систему линейных алгебраических уравнений можно решить методом Крамера, если ее определитель не равен нулю.
1. Из системы , получим  следовательно, система может быть решена методом Крамера.
2. Из системы , получим  следовательно, система может быть решена методом Крамера.
3. Из системы , получим  следовательно, система может быть решена методом Крамера.
4. Из системы , получим  следовательно, система не может быть решена методом Крамера.

ЗАДАНИЕ N 6 сообщить об ошибке
Тема: Квадратичные формы
Матрице  соответствует квадратичная форма  равная …

Решение:
Слагаемые из формы можно представить в виде . Они соответствуют как i-строке и j-столбцу, так и j-строке и i-столбцу матрицы в силу того, что , поэтому на каждой из двух позиций ij и ji матрицы записывается по . Соответственно коэффициенты формы при квадратах неизвестных, т. е.  , записываются на главной диагонали. Для данной формы элементы матрицы 
Следовательно, заданная квадратичная форма имеет вид 

ЗАДАНИЕ N 8 сообщить об ошибке
Тема: Скалярное произведение векторов
В ортонормированном базисе заданы векторы  и  Тогда их скалярное произведение будет равно …

ЗАДАНИЕ N 9 сообщить об ошибке
Тема: Векторное произведение векторов
Векторное произведение векторов  и  равно …

Решение:
Векторное произведение двух векторов:  и , заданных своими координатами, находится по формуле:

В нашем случае 

  ЗАДАНИЕ N 10 сообщить об ошибке
Тема: Смешанное произведение векторов
Векторы   и  компланарны, если параметр  равен …

Решение:
Векторы ,  и  компланарны, если их смешанное произведение равно 0. Смешанное произведение векторов   и  заданных своими координатами, находится по формуле:

В нашем случае  То есть векторы ,  и  компланарны при 

  ЗАДАНИЕ N 11 сообщить об ошибке
Тема: Прямоугольные координаты на плоскости
Точка  лежит на оси абсцисс и равноудалена от точки  и начала координат. Тогда точка M имеет координаты …

Решение:
Так как точка  лежит на оси абсцисс, то ее ордината . Так как точка  равноудалена от точки  и начала координат , то расстояния от точки M до точек  и  равны. Тогда  или   То есть 

ЗАДАНИЕ N 12 сообщить об ошибке
Тема: Полярные координаты
Точка  задана в прямоугольной системе координат. Тогда ее полярные координаты равны …

Решение:
Полярные координаты  точки  заданной прямоугольными координатами  находятся по формулам   То есть   учитывая, что точка  лежит в четвертой четверти.

ЗАДАНИЕ N 13 сообщить об ошибке
Тема: Прямая на плоскости
В треугольнике с вершинами    уравнение высоты, проведенной из вершины C, имеет вид …

Решение:
Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точку  перпендикулярно нормальному вектору : . В качестве нормального вектора возьмем вектор , а в качестве заданной точки возьмем точку  Тогда , или .

ЗАДАНИЕ N 14 сообщить об ошибке
Тема: Кривые второго порядка
Уравнением кривой второго порядка  на плоскости определяется …

Решение:
Выделим в уравнении  полный квадрат по переменной :  или  Разделив обе части этого уравнения на 10, получим уравнение вида:
 которое на плоскости определяет эллипс.

ЗАДАНИЕ N 15 сообщить об ошибке
Тема: Прямоугольные координаты в пространстве
Даны точки  и  Тогда точка B, которая делит отрезок AC в отношении , имеет координаты …

Решение:
Если точка делит отрезок  в отношении , то координаты точки  можно найти по формулам:
  
Так как  то  и    то есть 

ЗАДАНИЕ N 16 сообщить об ошибке
Тема: Плоскость в пространстве
Уравнение плоскости, проходящей через точки   и  имеет вид …

Решение:
Уравнение плоскости, проходящей через точки ,  и , не лежащие на одной прямой, имеет вид 
Подставим числовые значения в полученное уравнение:
 или  
Раскрывая определитель по первой строке, получим ,
то есть .

ЗАДАНИЕ N 19 сообщить об ошибке
Тема: Определение линейного пространства
Для элементов линейного пространства операции сложения и умножения на действительное число обладают свойством …

Решение:
Множество  образует линейное пространство, если для любых двух его элементов  определены операции сложения  и умножения на действительное число ;  со свойствами:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 

ЗАДАНИЕ N 21 сообщить об ошибке
Тема: Линейные отображения
Дано линейное преобразование векторов на плоскости Oxy, которое каждый вектор переводит в вектор той же длины, но противоположно направленный исходному. Тогда матрица A этого преобразования имеет вид …

Решение:
Так как  и  , то матрица такого линейного преобразования имеет вид 

ЗАДАНИЕ N 22 сообщить об ошибке
Тема: Линейные операторы
Пусть  – базис пространства . Операторы  и  этого пространства заданы матрицами   Тогда матрица оператора  равна …

ЗАДАНИЕ N 27 сообщить об ошибке
Кейс-задания: Кейс 1 подзадача 1
Фирма планирует организовать выпуск новой продукции, для чего берет в банке кредит в размере 300 тыс. руб. под 25 % годовых. На организацию производства фирме понадобится 20 дней, после чего она ежедневно будет получать прибыль в размере 4 тыс. руб.

Если временная база по начислению процентов равна 365 дням, то размер долга S (тыс. руб.) фирмы банку через tдней можно определить как …

ЗАДАНИЕ N 28 сообщить об ошибке
Кейс-задания: Кейс 1 подзадача 2
Фирма планирует организовать выпуск новой продукции, для чего берет в банке кредит в размере 300 тыс. руб. под 25 % годовых. На организацию производства фирме понадобится 20 дней, после чего она ежедневно будет получать прибыль в размере 4 тыс. руб.

Установите соответствие между количеством дней t, прошедших с момента получения кредита, и прибылью (тыс. руб.) фирмы.

1. 
2. 
3. 

Решение:
Прибыль фирмы можно определить как

Тогда
1)  тыс. руб.;
2)  тыс. руб.;
3)  тыс. руб.;

ЗАДАНИЕ N 29 сообщить об ошибке
Кейс-задания: Кейс 1 подзадача 3
Фирма планирует организовать выпуск новой продукции, для чего берет в банке кредит в размере 300 тыс. руб. под 25 % годовых. На организацию производства фирме понадобится 20 дней, после чего она ежедневно будет получать прибыль в размере 4 тыс. руб.

Фирма может погасить кредит разовым платежом за счет полученной прибыли как минимум чем через _____ день (дня, — ей) после получения кредита.

Решение:
Решим линейное неравенство  а именно:

Тогда  то есть кредит разовым платежом можно погасить как минимум через 101 день.

ЗАДАНИЕ N 30 сообщить об ошибке
Кейс-задания: Кейс 2 подзадача 1
Инвестор вложил одну четверть своего капитала, равного 40 тыс. руб., в акции A, а оставшуюся часть – в акции B. Через один год сумма его капитала увеличилась на 5,5 тыс. руб. Если бы инвестор распределил свой капитал наоборот, то увеличение капитала составляло бы 4,5 тыс. руб.

Процентный доход по акциям A за год составил ____ %.

Даны матрицы   Тогда матрица  равна …

Решение:
Матрица C находится следующим образом:

ЗАДАНИЕ N 3 сообщить об ошибке
Тема: Ранг матрицы
Ранг матрицы  равен …

Решение:
Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю. Существуют ненулевые миноры второго порядка, например:

Следовательно, ранг равен двум.

 ЗАДАНИЕ N 4 сообщить об ошибке
Тема: Обратная матрица
Для матрицы  не существует обратной, если значение x равно …

ЗАДАНИЕ N 5 сообщить об ошибке
Тема: Системы линейных уравнений
Базисное решение системы  может иметь вид …

ЗАДАНИЕ N 10 сообщить об ошибке
Тема: Смешанное произведение векторов
Объем параллелепипеда, построенного на векторах   и  равен …

Решение:
Объем параллелепипеда, построенного на векторах ,  и , равен модулю смешанного произведения этих векторов. Вычислим смешанное произведение векторов ,  и , заданных своими координатами, по формуле:

В нашем случае  то есть 

ЗАДАНИЕ N 11 сообщить об ошибке
Тема: Прямоугольные координаты на плоскости
В треугольнике с вершинами ,  и  проведена медиана AM, длина которой равна …

Решение:
Точка  является серединой отрезка . Координаты середины отрезка определяются по формулам   Подставляя в эти формулы координаты точек  и , получим координаты точки :   Расстояние между точками  и  можно найти по формуле 
То есть 

ЗАДАНИЕ N 12 сообщить об ошибке
Тема: Полярные координаты
Точка  задана в прямоугольной системе координат. Тогда ее полярные координаты равны …

ЗАДАНИЕ N 13 сообщить об ошибке
Тема: Прямая на плоскости
В треугольнике с вершинами    уравнение высоты, проведенной из вершины C, имеет вид …

Решение:
Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точку  перпендикулярно нормальному вектору : . В качестве нормального вектора возьмем вектор , а в качестве заданной точки возьмем точку  Тогда , или .

  ЗАДАНИЕ N 17 сообщить об ошибке
Тема: Прямая линия в пространстве
Острый угол между прямыми  и  равен …

ЗАДАНИЕ N 18 сообщить об ошибке
Тема: Поверхности второго порядка
Уравнение сферы имеет вид

Тогда радиус сферы равен …

Решение:
Уравнение сферы радиуса R с центром в точке  имеет вид 
Выделим в исходном уравнении  полные квадраты:

То есть 
Тогда радиус сферы равен 7.

  ЗАДАНИЕ N 19 сообщить об ошибке
Тема: Определение линейного пространства
Среди представленных множеств линейное пространство не образует …

Решение:
Множество  образует линейное пространство, если для любых 2-х его элементов  определены операции сложения  и умножения на действительное число ;  со свойствами:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
При проверке аксиом получим, что множество всех матриц размерностью m´n, содержащих только положительные числа, не образуют линейного пространства, так как умножение на отрицательное число получаем матрицу с отрицательными числами и не выполняется шестая аксиома.

  ЗАДАНИЕ N 20 сообщить об ошибке
Тема: Базис и размерность линейного пространства
Вектор  является линейной комбинацией векторов  и , если , то  равно …

Решение:

  ЗАДАНИЕ N 21 сообщить об ошибке
Тема: Линейные отображения
Прообразом вектора  при линейном преобразовании, заданном матрицей  является вектор …

Решение:
Так как , то 

ЗАДАНИЕ N 27 сообщить об ошибке
Кейс-задания: Кейс 1 подзадача 1
Фирма планирует организовать выпуск новой продукции, для чего берет в банке кредит в размере 200 тыс. руб. под 20 % годовых. На организацию производства фирме понадобится 30 дней, после чего она ежедневно будет получать прибыль в размере 3 тыс. руб.

Если временная база по начислению процентов равна 365 дням, то размер долга S (тыс. руб.) фирмы банку через tдней можно определить как …

Решение:
Наращенную сумму долга можно вычислить по формуле
 где тыс. руб.,  
Тогда  тыс. руб.

ЗАДАНИЕ N 28 сообщить об ошибке
Кейс-задания: Кейс 1 подзадача 2
Фирма планирует организовать выпуск новой продукции, для чего берет в банке кредит в размере 200 тыс. руб. под 20 % годовых. На организацию производства фирме понадобится 30 дней, после чего она ежедневно будет получать прибыль в размере 3 тыс. руб.

Установите соответствие между количеством дней t, прошедших с момента получения кредита, и прибылью (тыс. руб.) фирмы.

1. 
2. 
3. 

Решение:
Прибыль фирмы можно определить как 

Тогда
1)  тыс. руб.;
2)  тыс. руб.;
3)  тыс. руб.;

ЗАДАНИЕ N 29 сообщить об ошибке
Кейс-задания: Кейс 1 подзадача 3
Фирма планирует организовать выпуск новой продукции, для чего берет в банке кредит в размере 200 тыс. руб. под 20 % годовых. На организацию производства фирме понадобится 30 дней, после чего она ежедневно будет получать прибыль в размере 3 тыс. руб.

Фирма может погасить кредит разовым платежом за счет полученной прибыли как минимум чем через _____ день (дня, — ей) после получения кредита.

Решение:
Решим линейное неравенство  а именно:

Тогда  то есть кредит разовым платежом можно погасить как минимум через 101 день.

ЗАДАНИЕ N 30 сообщить об ошибке
Кейс-задания: Кейс 2 подзадача 1
Инвестор вложил одну четверть своего капитала, равного 40 тыс. руб., в акции A, а оставшуюся часть – в акции B. Через один год сумма его капитала увеличилась на 5,5 тыс. руб. Если бы инвестор распределил свой капитал наоборот, то увеличение капитала составляло бы 4,5 тыс. руб.

Процентный доход по акциям A за год составил ____ %.

Решение:
Пусть  – процентный доход по акциям  за год;  – по акциям . Тогда условия задачи могут быть представлены в виде системы уравнений:

или

Решив систему, получим, что  и . Следовательно, процентный доход по акциям A за год составил 10%.

ЗАДАНИЕ N 32 сообщить об ошибке
Кейс-задания: Кейс 2 подзадача 3
Инвестор вложил одну четверть своего капитала, равного 40 тыс. руб., в акции A, а оставшуюся часть – в акции B. Через один год сумма его капитала увеличилась на 5,5 тыс. руб. Если бы инвестор распределил свой капитал наоборот, то увеличение капитала составляло бы 4,5 тыс. руб.

Пусть процентный доход по акциям B не изменяется. Установите соответствие между годовым процентным доходом по акциям A и размером капитала инвестора.

1. 15%
2. 20%
3. 25%

Решение:
Пусть  – процентный доход по акциям  за год;  – по акциям  Тогда годовой процентный доход по акциям  равен 15%.
1. Если процентный доход по акциям  за год составляет 15%, то размер капитала инвестора равен  то есть 46 000 руб.
2. Если процентный доход по акциям  за год составляет 20%, то размер капитала инвестора равен  то есть 46 500 руб.
3. Если процентный доход по акциям  за год составляет 25%, то размер капитала инвестора равен  то есть 47 000 руб.

ЗАДАНИЕ N 33 сообщить об ошибке
Кейс-задания: Кейс 3 подзадача 1
Предприятие производит продукцию трех видов, используя для этого два вида сырья. Нормы затрат сырья (в у. е.) на производство одной единицы изделия каждого вида указаны в таблице.

Если обозначить за  – объем используемого ресурса , а за  – объем , то объемы ,  и  произведенной продукции видов ,  и  соответственно, можно определить из системы линейных уравнений вида …

Решение:
Так как нормы затрат сырья на производство одной единицы продукции известны, то объемы произведенной продукции вычисляются как произведение нормы расхода сырья на соответствующие объемы используемых ресурсов, то есть:

ЗАДАНИЕ N 34 сообщить об ошибке
Кейс-задания: Кейс 3 подзадача 2
Предприятие производит продукцию трех видов, используя для этого два вида сырья. Нормы затрат сырья (в у. е.) на производство одной единицы изделия каждого вида указаны в таблице.

Установите соответствие между объемами используемых ресурсов  и объемами произведенной продукции 

1. 
2. 
3. 

Решение:
Так как объемы произведенной продукции определяются из системы уравнений вида  то:
1. 
2. 
3. 

ЗАДАНИЕ N 35 сообщить об ошибке
Кейс-задания: Кейс 3 подзадача 3
Предприятие производит продукцию трех видов, используя для этого два вида сырья. Нормы затрат сырья (в у. е.) на производство одной единицы изделия каждого вида указаны в таблице.

Пусть прибыль от реализации одной единицы продукции  равна 2 тыс. у. е., продукции  – 3 тыс. у. е., продукции  – 5 тыс. у. е. Если в процессе производства было использовано 3 единицы ресурса  и 1 единица ресурса , то совокупная прибыль предприятия равна ____ тыс. у. е.

Решение:
Вычислим объемы произведенной продукции как

Тогда совокупная прибыль предприятия определяется как  где  – матрица прибыли от реализации одной единица каждого вида продукции. Следовательно,

ЗАДАНИЕ N 22 
Тема: Линейные операторы
Линейный оператор  отображает базис  в векторы:
   Тогда матрица оператора  в этом базисе имеет вид …

ЗАДАНИЕ N 21 сообщить об ошибке
Тема: Линейные отображения
Дано линейное преобразование векторов на плоскости Oxy, которое каждый вектор переводит в сонаправленный вектор, в два раза длиннее исходного. Тогда матрица A этого преобразования имеет вид …

Решение:
Так как  и  , то матрица такого линейного преобразования имеет вид ЗАДАНИЕ N 20 сообщить об ошибке
Тема: Базис и размерность линейного пространства
Совокупность векторов , ,  не может являться базисом трехмерного линейного пространства, если  равно …

Решение:
Совокупность линейно независимых векторов называется базисом линейного этого пространства. Значит, совокупность 3 векторов не является базисом, если вектора линейно зависимы, то есть определитель, составленный из координат этих векторов, равен нулю. Составим определитель для данной совокупности векторов

ЗАДАНИЕ N 19 сообщить об ошибке
Тема: Определение линейного пространства
Линейное пространство L не обладает свойством …

ЗАДАНИЕ N 16 сообщить об ошибке
Тема: Плоскость в пространстве
Плоскости  и  перпендикулярны при значении m, равном …

Решение:
Плоскости, заданные общими уравнениями  и  перпендикулярны при условии, что . Тогда   то есть .

ЗАДАНИЕ N 8 сообщить об ошибке
Тема: Скалярное произведение векторов
Угол между векторами  и  заданными в ортонормированном базисе, равен …

Решение:
Косинус угла между векторами  и , заданными своими координатами, находится по формуле:

где .
В нашем случае 
То есть , и, следовательно, угол 

ЗАДАНИЕ N 5 сообщить об ошибке
Тема: Системы линейных уравнений
Базисное решение системы  может иметь вид …

Решение:
По методу Гаусса приведем матрицу системы с помощью элементарных преобразований строк к трапецеидальной или треугольной форме. Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее:
~~ Следовательно, система может быть записана в виде 
где  – свободная переменная, а  – базисные. Общее решение будет иметь вид: . Базисным решением называется всякое решение системы, в котором свободные переменные имеют нулевые значения. Значит