Тесты к экзамену по теории функций комплексного переменного

Тесты к гос. экзамену по теории функций комплексного переменного.

1. Найти модуль комплексного числа , максимально близкого к 1.

a) -1

b)

c)

d)

e)

f) 1

2. Является ли точка особой точкой для функции и какого типа?

a) Существенно особая точка

b) устранимая особая точка

c) полюс

d) не является особой точкой

e) точка ветвления бесконечного порядка

f) точка ветвления второго порядка

3. Каким разложением можно представить аналитическую функцию переменной в некоторой проколотой окрестности точки ветвления конечного порядка

a)

b)

c)

d)

e)

f)

4. Можно ли и почему функцию аналитически продолжить за пределы единичного круга?

a) нельзя, т. к. функция не является голоморфной внутри единичного круга

b) нельзя, т. к. все точки единичной окружности являются ее особыми точками

c) можно, т. к. функция голоморфна внутри единичного круга

d) нельзя, т. к. — особая точка заданной функции.

e) можно, т. к. функция является целой

f) можно, т. к. радиус сходимости степенного ряда больше 1

5. Какие два канонических аналитических элемента называются непосредственно продолжаемыми друг в друга?

a) существует непрерывный путь с началом в центре одного элемента и концом в центре другого элемента

b) степенные ряды этих элементов имеют одинаковые суммы

c) Круги сходимости степенных рядов этих элементов пересекаются и в их пересечении суммы рядов совпадают

d) Круги сходимости степенных рядов этих элементов имеют одинаковый радиус

e) Степенные ряды этих элементов имеют одинаковые коэффициенты

f) Степенной ряд одного элемента сходится к сумме степенного ряда другого элемента

6. Что называется аналитической функцией?

a) функция, удовлетворяющая условиям Коши-Римана

b) функция, которую можно разложить в сходящийся степенной ряд в окрестности любой точки

c) многозначная голоморфная функция

d) Аналитической функцией называется совокупность канонических элементов, которые получаются из одного какого-либо элемента его аналитическим продолжением вдоль всех путей, начинающихся в центре этого элемента, вдоль которых такое продолжение возможно

e) Совокупность канонических элементов, продолжаемых один в другой вдоль гомотопных нулю путей.

f) Сумма степенного ряда, сходящегося в объединении кругов сходимости всех канонических элементов, получаемых из одного фиксированного всевозможными аналитическими продолжениями вдоль всех путей, начинающихся в центре этого элемента, вдоль которых такое продолжение возможно.

7. В чём состоит теорема о монодромии для аналитических функций?

a) Аналитическая функция может иметь не более чем счётное множество различных аналитических элементов с центром в фиксированной точке комплексной плоскости

b) Если некоторый элемент аналитически продолжаем вдоль любого пути, принадлежащего некоторой области, то определяемая продолжениями этого элемента вдоль таких путей аналитическая функция однозначна в этой области

c) Если аналитическая функция не нулевая, то объединение всех кругов сходимости элементов этой функции образует область

d) Если некоторый элемент аналитически продолжаем вдоль любого пути, принадлежащего односвязной области, то определяемая продолжениями этого элемента вдоль таких путей аналитическая функция однозначна в этой области

e) Значения степенных рядов любых аналитических элементов аналитической функции в центрах этих элементов совпадают

f) Аналитическая функция всегда является однозначной в любой точке её определения

8. Где и каким образом можно выделить ветви аналитической функции ?

a) В любой области, не содержащей точку , указанием значения функции в какой-либо точке этой области

b) В любой области, не содержащей ни одного замкнутого пути, охватывающего точку , указанием её значения в одной из точек этой области

c) В любой многосвязной области, указанием значения функции в точке

d) В любой области, указанием значения функции в точке

e) В ограниченной области, с помощью указания границы этой области

f) У этой функции нигде нельзя выделить какую-либо ветвь

9. Что такое риманова поверхность аналитической функции?

a) поверхность графика модуля этой функции с нанесённой на ней сеткой линий уровня аргументов значений этой функции

b) поверхность в четырёхмерном пространстве, координатами точек которой являются действительные и мнимые значения аналитической функции и комплексного аргумента

c) поверхность, являющаяся объединением областей однолистности аналитической функции

d) совокупность областей однолистности аналитической функции

e) множество точек, где аналитическая функция теряет однозначность

f) множество, на элементах которого однозначно определяется любое значение заданной аналитической функции

10. Перечислите все особые точки функции с указанием их типа

a) и — точки ветвления бесконечного порядка и точка — полюс первого порядка на плоскости с разрезом по точкам , , где — вещественное число

b) все точки , где — существенно особые точки

c) точка — существенно особая точка, — точки ветвления бесконечного порядка

d) точка — устранимая особая точка, — существенно особые точки

e) точка — точка ветвления второго порядка, — точки ветвления бесконечного порядка

f) , где — полюсы первого порядка, а — неизолированные особые точки

11. Пусть функция голоморфна всюду в плоскости , за исключением конечного числа точек . Сформулируйте теорему о полной сумме вычетов.

a) сумма вычетов во всех точках равна 0.

b) сумма вычетов во всех точках и вычета в точке равна нулю

c) Сумма вычетов во всех точках равна вычету в точке

d) Сумма вычетов во всех точках равна , где — коэффициенты в лорановских разложениях функции в окрестностях точек при степени .

e) Сумма вычетов во всех точках равна

f) Сумма вычетов во всех точках равна .

12. С помощью теоремы вычетов вычислить интеграл

a)

b)

c) 0

d) 1

e) -1

f)

13. Как определяется вычет функции в изолированной особой точке с помощью коэффициентов лорановского разложения?

a)

b)

c)

d)

e)

f)

14. Пусть функция голоморфна в области всюду, за исключением множества изолированных особых точек и пусть компактно содержится в , причём . Чему равен интеграл ?

a)

b)

c)

d)

e)

f)

15. Какие функции комплексного переменного называются мероморфными в области ?

a) голоморфные в функции, имеющие в только изолированные особые точки

b) голоморфные в функции, имеющие в одной из изолированных особых точек существенную особенность

c) голоморфные в функции, имеющие в только неизолированные особые точки

d) голоморфные в функции, имеющие в только конечное число полюсов

e) голоморфные в функции, имеющие в только устранимые особые точки

f) голоморфные в функции, не имеющие в других особых точек, кроме полюсов

16. Какие функции комплексного переменного называются целыми?

a) голоморфные во всей плоскости комплексного переменного

b) функции, голоморфные в , за исключением конечного числа полюсов

c) функции, голоморфные в

d) функции, голоморфные в , за исключением конечного числа существенно особых точек

e) голоморфные функции типа многочлена

f) голоморфные функции, главная часть разложения которых в окрестности точки имеет только целые коэффициенты

17. Сформулируйте теорему Сохоцкого для существенно особой точки голоморфной функции

a) если , то

b) можно найти последовательность , такую, что

c) — существенно особая точка функции главная часть лорановского разложения в окрестности точки содержит бесконечно много отличных от нуля членов

d) — существенно особая точка функции правильная часть лорановского разложения в окрестности точки содержит бесконечно много отличных от нуля членов

e) лорановское разложение функции в окрестности точки не содержит главной части

f) лорановское разложение функции в окрестности точки не содержит правильной части

18. Какой тип имеет особая точка для функции ?

a) полюс первого порядка

b) существенно особая точка

c) неизолированная особая точка

d) устранимая особая точка

e) полюс второго порядка

f) полюс бесконечного порядка

19. В чём состоит теорема Рунге для голоморфной в односвязной области функции ?

a) Существует полином , такой, что :

b) Найдётся такая точка , что , где — некоторый полином

c) Если ряд , — голоморфные в функции, сходится равномерно на любом компактном подмножестве , то сумма этого ряда голоморфна в

d) Существует полином , такой, что :

e) Если ряд , — голоморфные в функции, сходится равномерно на любом компактном подмножестве , то ряд можно почленно дифференцировать в каждой точке любое число раз

f) Порядок нуля функции совпадает с порядком наивысшей степени , на которую делится, т. е. оказывается функцией, голоморфной в точке

20. В каком случае две голоморфные в области функции совпадают на всей области ?

a) Если они совпадают в некоторых точках , таких, что

b) Если они совпадают в конечном числе точек

c) Если они и их первые производные совпадают хотя бы в одной точке

d) Если они совпадают в бесконечном числе точек

e) Если они совпадают на множестве , имеющем хотя бы одну предельную точку

f) Если они совпадают на границе области

21. Как определяются размеры кольца сходимости ряда Лорана ?

a)

b)

c)

d)

e)

f)

22. Найти ряд Лорана функции в кольце

a)

b)

c)

d)

e)

f)

23. Пусть функция голоморфна в кольце . В чём состоят неравенства Коши для коэффициентов Лорана функции ?

a) Если на окружности , то

b) Если на окружности , то

c) Если на окружности , то

d) Если на окружности , то

e) Если на окружности , то

f) Если на окружности , то

24. Какая связь между тригонометрическими рядами Фурье и рядами Лорана?

a) Если — коэффициенты Лорана функции в окрестности точки , то , являются коэффициентами Фурье функции при косинусах, а при синусах соответственно

b) Коэффициенты ряда Фурье функции , периодической и интегрируемой на отрезке образуют коэффициенты ряда Лорана для функции в окрестности точки , такой, что

c) Ряд Фурье комплекснозначной функции , периодической и интегрируемой на отрезке , записанный в комплексной форме, является рядом Лорана функции , где , на единичной окружности

d) Если — коэффициенты Лорана функции в окрестности точки , то коэффициенты ряда Фурье для функции связаны с соотношениями

e) Коэффициенты ряда Фурье функции : являются коэффициентами ;

f) Коэффициенты ряда Фурье функции : связаны с рядом Лорана в окрестности точки соотношениями ; . При этом при

25. Какими формулами определяются коэффициенты Лорана функции , голоморфной в кольце ?

a)

b)

c)

d)

e)

f)

26. В чём состоит теорема Лиувилля для голоморфных функций?

a) Если функция голоморфна в области , то она ограничена на

b) Если функция голоморфна в области и ограничена в , то она постоянная в

c) Если функция голоморфна в любой точке , то она постоянна в

d) Если функция голоморфна в точке , то она ограничена

e) Если функция голоморфна во всей плоскости и ограничена, то она постоянна

f) Если функция голоморфна в , то она не может быть ограниченной в

27. Какие функции называются голоморфными в точке ?

a) функции, дифференцируемые в смысле вещественного анализа и для которых в этой точке выполняются условия Коши-Римана

b) функции, дифференцируемые в смысле вещественного анализа и для которых в этой точке выполняются условия Коши-Римана

c) функции, дифференцируемые в этой точке в смысле комплексного анализа

d) функции, дифференцируемые в смысле вещественного анализа в некоторой окрестности точки

e) функции, дифференцируемые в смысле комплексного анализа в некоторой окрестности точки

f) функции, дифференцируемые в смысле комплексного анализа в некоторой окрестности точки , для которых в этой окрестности выполняются условия Коши-Римана

28. Вычислить интеграл функции по контуру ; ,

a) 0

b)

c)

d)

e)

f)

29. В чём состоит гидродинамический смысл реальной и мнимой части голоморфной функции ?

a) — потенциал поля скоростей, а — потенциал поля ускорений плоско-параллельного течения идеальной несжимаемой жидкости

b) — потенциал поля скоростей, а — уравнение, определяющее семейство линий тока плоско-параллельного течения идеальной несжимаемой жидкости

c) — уравнение, определяющее семейство линий тока,

а — потенциал поля скоростей плоско-параллельного течения идеальной несжимаемой жидкости

d) комплексный потенциал представляет собой вектор, комплексно сопряжённый вектору скорости плоско-параллельного течения идеальной несжимаемой жидкости

e) уравнение определяет семейство линий тока плоско-параллельного течения идеальной несжимаемой жидкости

f) функция является потенциалом поля скоростей плоско-параллельного течения идеальной несжимаемой жидкости

30. Какие условия необходимы и достаточны, чтобы отображение было конформным в области D?

a) все точки не должны быть критическими

b) во всех точках функция должна быть голоморфна

c) все точки должны быть некритическими и в них должна быть голоморфной

d) во всех точках функция должна быть антиголоморфна

e) во всех точках должна быть дифференцируема в смысле действительного анализа и эти точки должны быть критическими

f) функция должна быть дробно-линейной

31. Какая функция однолистно и конформно отображает полосу на внутренность единичного круга?

a)

b)

c)

d)

e)

f)

32. Голоморфная функция в точке определяется по Коши как функция

a) интеграл которой по границе любого треугольника, компактно принадлежащего некоторой окрестности этой точки равен нулю

b) которая является дифференцируемой в смысле комплексного анализа в этой точке

c) которая разлагается в степенной ряд, сходящийся в этой точке

d) которая разлагается в степенной ряд, сходящийся в некоторой окрестности этой точки

e) которая непрерывна в некоторой окрестности этой точки и интеграл которой по границе любого треугольника, компактно принадлежащего этой окрестности, равен нулю

f) которая является дифференцируемой в смысле комплексного анализа в некоторой окрестности этой точки

33. Какие комплекснозначные функции комплексного аргумента называются голоморфными в точке по Вейерштрассу?

a) дробно – рациональные функции

b) функции, дифференцируемые в смысле комплексного анализа в точке

c) функции, для которых интеграл по границе любого треугольника, компактно принадлежащего некоторой окрестности этой точки равен нулю

d) функции, дифференцируемые в смысле комплексного анализа в некоторой окрестности точки

e) функции, для которых сходится интеграл вида , где — некоторая окрестность точки

f) функции, которые разлагаются в степенной ряд, сходящийся в некоторой окрестности точки

34. Какой вид имеет сферическая метрика для комплексных чисел?

a)

b)

c)

d)

e)

f)

35. Какие объекты являются точками и прямыми в модели А. Пуанкаре геометрии Н. Лобачевского?

a) точки комплексной плоскости и дуги окружностей на

b) точки комплексной плоскости, удовлетворяющие условию и дуги окружностей на , для точек которых и которые ортогональны окружности

c) точки комплексной плоскости и дуги окружностей, перпендикулярные окружности

d) точки круга и прямые, перпендикулярные дуге

e) точки полуплоскости и дуги окружностей, перпендикулярные прямой

f) точки комплексной плоскости, для которых и дуги окружностей вида

36. Пусть D-область , где l>R>0. Найти конформное отображение области D на концентрическое кольцо , где

,

Ответы:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

37. Пусть D-область . Найти коформное отображение области D на верхнюю полуплоскость

Ответы:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

38. Найти вычет в особой точке функции

Ответы:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

39. Используя теорию вычетов найти интеграл

Ответы:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

40. Используя теорию вычетов найти интеграл

Ответы:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

41. Используя теорию вычетов найти интеграл

Ответы:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

42. Используя теорию вычетов найти интеграл

Ответы:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

43. Пользуясь интегральной формулой Коши вычислить интегралесли

Ответы:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

44. Построить комплексный потенциал течения жидкости , если известно уравнение линии тока. и , где

Ответы:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

45. Найти комплексный потенциал течения жидкости, если известны уравнения эквипотенциальных линий и

Ответы:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

46. Определить характер особой точки для следующей функции:

Ответы:

1.  существенно особая точка

2.  полюс первого порядка

3.  устранимая особая точка

4.  полюс второго порядка

5.  полюс третьего порядка

47. Определить характер особой точки для следующей функции:

Ответы:

1.  существенно особая точка

2.  полюс первого порядка

3.  устранимая особая точка

4.  полюс второго порядка

5.  полюс третьего порядка

48. найти следующий вычет:

Ответы:

1.  0

2. 

3. 

4. 

5. 

49. Вычислить интеграл

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

50. Вычислить интеграл

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

51. Вычислить интеграл

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

52. Найти число нулей функции внутри единичного круга используя теорему Руше: Пусть f(z) и голоморфные в замкнутой области ограниченный контуром Г, во всех точках этого контура удовлетворяют неравенству Тогда их сумма и функция f(z) имеют вобласти D одинаковое число нулей (с учетом их кратности).

1.  0 – нулей

2.  1 – нуль

3.  2 – нуля

4.  3 – нуля

5.  4 – нуля

6.  5 — нулей

53. Сколько корней уравнения находится в кольце ? Использовать теорему Руше: Пусть f(z) и голоморфны в замкнутой области , огрканиченной контуром Г, во всех точках этого конутар удовлетворяют неравенству Тогда их сумма и функция f(z) имеют в области D одинаковое число нулей (с учетом их кратности).

1.  0-нулей

2.  1-нуль

3.  2-нуля

4.  3-нуля

5.  4-нуля

6.  5-нулей

54. Какие комплекснозначные функции называются аналитическими.

1.  функции, которые можно определить с помощью элементарных функций вещественной переменной;

2.  голоморфные функции;

3.  совокупность канонических элементов, которые получаются из одного какого-либо элемента аналитическими продолжениями вдоль всех путей, начинающихся в центре этого элемента, вдоль которых такое продолжение возможно;

4.  функции удовлетворяющие условия Коши-Римана;

5.  совокупность всех аналитических элементов, имеющих общую точку из которой можно провести аналитическое продолжение этой функции.

55. Пусть аналитическая функция имеет вид Каковы особые точки этой функции.

1.  в точке z=0 имеется точки ветвления второго порядка,

в точке z=1 одна точка ветвления второго порядка,

в точке одна точка ветвления четвертого порядка;

2.  в точке z=0 точка ветвления второго порядка,

в точке точка ветвления четвертого порядка;

3.  в точке z=0 имеется точка ветвления четвертого порядка,

в точке z=1 одна точка ветвления второго порядка,

в точке одна точка ветвления второго порядка;

4.  в точке z=0 одна точка ветвления второго порядка,

в точке одна точка ветвления второго порядка.

5.  в точке z=0 две точки ветвления второго порядка,

в точке z=-1 одна точка ветвления второго порядка,

в точке одна точка ветвления второго порядка.

56. Какие голоморфные функции являются ветвями аналитической функции Ln(z), ?

1.  ,

2. 

3. 

4. 

5. 

57. Пусть аналитический элемент F=(U, f) аналитически продолжаем вдоль любого пути области D, то определяемая продолжениями F вдоль таких путей аналитическая функция

1.  однозначна в этой области

2.  однозначна в этой области, если область односвязна

3.  может иметь не более двух различных элементов с центром в этой точке

4.  может иметь счетное число различных элементов с центром в фиксированной точке

5.  может иметь любое число различных элементов с центром в фиксированной точке

58. Найти и исследовать особые точки аналитической функции

1.  z=0, — логарифмические точки ветвления,

— полюс первого порядка

2.  — существенно особая точка

3.  z=0 – логарифмическая точка ветвления

4.  — логарифмическая точка ветвления

— полюс первого порядка

5.  z=0 – логарифмичкая точка ветвления

— существенно особая точка

59. Пусть z=a – точка ветвления порядка m для F(z) и точка ветвления порядка n для G(z). Определить поярдок точки ветвления z=a для функции F(z)*G(z), в предложении, что m и n взаимно просты.

1.  m+n

2. 

3.  m*n

4. 

5. 

60. Пусть G – вся комплексная плоскость с разрезом по положительной части действительный оси, а ветвь аналитической функции удовлетворяющее условию Найти значение

1. 

2. 

3. 

4. 

5.