Теория вычетов и её приложения

, где φ(z) – аналитическая. Φ(z0)≠0

, — пятого порядка.

,

Т4 Пусть Z0 – изолированная особая точка , где и аналитические в т Z0.

Пусть Z0 –является ????? порядка k для

Пусть Z0 – является ????? порядка l для

Если l>k, то Z0 – полюс f(z) порядка m=l-k, если l<k, то Z0 – УОТ f(z)

, — Z0=0 полюс 1-го порядка.

, Z0=0 – полюс 3-го порядка, Z0- полюс порядка Z.

Т5 Для того чтобы Z0 было СОТ аналитической f(z) необходимо и достаточно, что бы f(z) не имела предела ни конечного, ни бесконечного.

Пусть Z0 – COT для f(z) , тогда для 1/f(z) Z0 либо остаётся СОТ, либо она является неизолированной особой точкой.

1.  f(z)=e1/z =1+1/z+1/(2!z2)+… Z0 =0 — СОТ

главная часть

1/f(z)=e-1/2 = 1-1/z+1/2!z2 — … Z0 =0 — СОТ

2.  f(z)=sin(1/z)=1/z-1/!z3 +1/5!z5 — … Z0 =0 – СОТ

1/f(z)=1/sin(1/z)

Z0 =0 sin(1/z)=0

1/z=ПR, RÎZ

z=1/ПR — Z0 =0 – неизолированная особая точка.

46. Теория вычетов и её приложения.

f(z)- аналитическая в окрестности точки Z0 0<|Z — Z0|<d

Z0 – изолированная особая точка или правильная.

Опр. вычетом функции f(z) в т. Z0 называется число

Г+- окружность достаточно малого радиуса |Z — Z0|<

Res[f(z),z0]

f(z)=…+C-2/( Z — Z0)2+C-1/( Z — Z0)+C0 +C1(Z — Z0)+…

Г: |Z — Z0|< окружность расположена строго в кольце

при n=-1

Вычет f(z) в т. Z0 равен С-1 в разложении в ряд Лорана f(z) в окрестности т. Z0

Теорема (осн. Теорема о вычетах)

Пусть f(z) аналитична в области D за исключением конечного числа особых точек

Z1, Z2 …Zn и непрерывна в обл. D без особых точек Z1, Z2 …Zn, но включая границу L, где С – гр. обл. D, ориентированная положительно, тогда

=

Док-во: опишем каждую точку маленьким контуром. применим интегральную теорему Коши для неодносв. обл.

Контур обход. так, что бы

область оставалась слева

…+0

…+

Замечание:если теор. о вычетах справедлива

и в том случае, когда Д многосвязноя область.

47. Вычисление вычетов.

1: -имеют k-ый порядок для функции f(z),

2: — УОТ аналитич. f(z),

3: -простой полюс f(z)

при

Возникает частный случай

Пусть

4: -полюс k-го порядка

продифф. всё раз