Теория тфкп 2015

Теория Функций Комплексной Переменной

  I.  Комплексные числа

1.  Основные положения.

2.  Геометрический смысл комплексного числа.

3.  Основы теории преде­лов в области комплексных чисел.

  II.  Функции комплексной переменной

1.  Определение, геометрический смысл функции комплексной переменной.

2.  Непрерывность функции комплексной переменной.

3.  Дифференцирование по комплексному аргументу.

4.  Не­обходимые условия существования производной по комплексной переменной.

5.  Достаточ­ные условия дифференцируемости по комплексной переменной.

6.  Аналитические функции.

7.  Связь аналитических функций с гармоническими.

  III.  Элементарные функции комплексной переменной

1.  Степенная функция.

2.  Многолистные и многозначные функции.

3.  Точки ветвления.

4.  Понятие римановой поверхности.

5.  Показательная функция и логарифм.

6.  Тригонометрические и ги­перболические функции.

  IV.  Интеграл по комплексной переменной

1.  Определение, основные свойства интеграла по комплексной переменной.

2.  Теорема Коши.

3.  Физический смысл теоремы Коши и интегральной формулы Коши.

4.  Следствия теоремы Коши и интегральной формулы Коши (теорема о среднем, теорема Лиувилля, основная теорема алгебры).

  V.  Ряды Тейлора и Лорана

1.  Теоремы о разложимости в ряды Тейлора и Лорана.

2.  Сходимость рядов Тейлора и Лорана.

  VI.  Классификация особых точек

1.  Изолированные особые точки.

2.  Устранимая особая точка, полюс, существенно особая точ­ка.

3.  Поведение аналитической функции в окрестностях изолированных особых точек.

4.  Осо­бенности на бесконечности.

5.  Классификация однозначных аналитических функций.

  VII.  Аналитическое продолжение

1.  Основные понятия.

2.  Теорема единственности аналитического продолжения.

3.  Приемы анали­тического продолжения.

  VIII.  Теория вычетов

1.  Определение вычета.

2.  Основная теорема теории вычетов.

3.  Применение теории вычетов к вычислению некоторых типов интегралов.

4.  Лемма Жордана.

5.  Интегралы от функций, имеющих точки ветвления.

6.  Суммирование рядов.

7.  Интегральное представление функций.

  IX.  Асимптотические методы вычисления интегралов

1.  Асимптотическое разложение.

2.  Метод Лапласа: оценки, лемма Ватсона.

3.  Метод стационар­ной фазы: вклад от невырожденной стационарной точки.

4.  Метод перевала: выбор контура, нахождение первого члена разложения.

  X.  Конформное отображение

1.  Геометрический смысл производной функции комплексного переменного.

2.  Линейные и дробно-линейные преобразования.

  XI.  Методы математической физики Постановка задач математической физики

1.  Постановка задач математической физики.

2.  Корректность постановки задачи.

  XII.  Классификация уравнений

1.  Классификация уравнений с частными производными.

2.  Классификация и приведение к ка­ноническому виду линейных уравнений с двумя переменными и понятие о классификации для n переменных.

  XIII.  Простейшие задачи, приводящие к уравнениям гиперболического и параболи­ческого типов

1.  Задачи о продольных и поперечных колебаниях струны.

2.  Телеграфное уравнение.

3.  Задачи о распространении тепла и диффузии газов (одномерный и трехмерный случаи).

4.  Три типа краевых условий.

5.  Единственность и устойчивость первых краевых задач для уравнений гиперболического и параболического типов.

6.  Принцип максимума.

7.  Метод распространяю­щихся волн (метод Даламбера).

8.  Формула Даламбера.

9.  Решение задач для полуограниченной прямой и отрезка.

10.  Распространение краевого режима.

  I.  Комплексные числа

1.  Основные положения.

Комплексным числом называется выражение вида , где и — действительные числа, а — символ, который является мнимой единицей (). и — действительная и мнимая часть комплексного числа и обозначаются «риэль» и «имажине».

Комплексные числа и равны тогда и только тогда, когда и .

Если и , то комплексные числа называют сопряженными — .

Операции над комплексными числами:

  i.  Сложение из неё вытекают законы:

a)  Переместительный

b)  Сочетательный

  ii.  Произведение из неё вытекают законы:

a)  Переместительный

b)  Сочетательный

c)  Распределительный

  iii.  Возведение в целую степень , имеет n различных корней

2.  Геометрический смысл комплексного числа

Комплексное число можно изображать на плоскости. OX – действительная ось, OY – мнимая.

Соответствие комплексных чисел и точек на плоскости будет взаимно однозначно. Также каждой точке соответствует радиус вектор комплексного числа. Сложение КЧ аналогично сложению их векторов на плоскости. В полярных координатах КЧ представимо в виде .

r – модуль комплексного числа , тогда .

— аргумент .

— главное значение , то есть .