Вузы по математике
Готовые работы по математике
Как писать работы по математике
Примеры решения задач по математике
Решить задачу по математике onlineТеория исследования операций
1. Основные понятия и определения
Теория исследования операций (ИО) как самостоятельная дисциплина сложилась в период Второй мировой войны. Работы Е. С. Вентцель, Б. В. Гнеденко, А. Н. Колмогорова, В. С. Пугачева н многих других авторов заложили основы понимания смысла терминов «операция», «эффективность», «неопределенность». Уже в предвоенные годы было положено начало исследованиям в задачах массового обслуживания, оценки эффективности стрелкового оружия, распределения ресурсов, были созданы основы анализа конфликтных ситуаций.
Что же такое ИО? Под ИО понимается применение математических, количественных методов для обоснования принимаемых решений в тех областях целенаправленной деятельности, где существуют различные пути достижения цели.
Особую значимость ИО приобрело в экономике в связи с необходимостью исследования математических моделей сложных экономических систем. В рамках теории ИО возникли новые дисциплины: системный анализ, теория экспертных систем, финансовая математика и др.
Дальнейшее изложение материала основано на работах [2 – 4]. Приведем основные определения.
Определение 1. Операция – совокупность действий, направленных на достижение определенной цели.
Пусть, например, человек выбирает, каким образом добраться от дома до работы. Цель операции – не опоздать на работу и сэкономить деньги на проезд. Совокупность действий: поехать на автобусе, поехать на троллейбусе, поехать на такси, пойти пешком.
Цель операции, как видно из примера, может включать несколько составляющих (время, деньги). Цели операции или их составляющие могут быть двух видов:
1) качественные, их сущность состоит в том, что или выполняется некоторое условие, или нет;
2) количественные, их сущность состоит в увеличении или уменьшении некоторого показателя – количественной меры степени достижения цели.
Так, в рассматриваемом примере цель не опоздать на работу является качественной: опоздал – условие не выполнено, не опоздал – выполнено. Если же поставить цель минимизировать время поездки, то цель будет количественной.
Определение 2. Оперирующей стороной (ОС) называются участники операции, стремящиеся к достижению цели операции.
В нашем примере это человек, решающий для себя вопрос о выборе способа добраться до работы. Однако оперирующая сторона может быть представлена и несколькими участниками. Так, все члены акционерного общества, заинтересованные в увеличении прибыли от предприятий своего общества, являются одной оперирующей стороной в соответствующей операции.
Определение 3. Контролируемые факторы – множество возможных действий ОС.
В первом примере контролируемые факторы – это выбор конкретного вида городского транспорта.
Множество контролируемых факторов будем обозначать буквой X. ОС выбирает некоторое действие – «точку» х 
Х. Например:
X = {«поехать на автобусе», «поехать на троллейбусе», «поехать на такси»; «пойти пешком»},
х = «поехать на такси».
Определение 4. Неконтролируемые факторы — факторы операции, которые не контролируются ОС.
В нашем примере это: время ожидания выбранного транспорта (например, автобуса) на остановке, погодные условия (соответственно, скорость движения), авария во время поездки и т. д.
Неконтролируемые факторы бывают двух типов.
Неопределенные факторы: ОС известно лишь множество значений Y неопределенных факторов у (у Y). Например, известно, что автобусы нужного маршрута ходят с интервалом 10 мин.
Случайные факторы: ОС известно множество значений Z и 
(z) – функция распределения вероятностей случайной величины z, где z — неконтролируемый фактор.
Таким образом, о случайном факторе z имеется больше информации, чем о неопределенном факторе. Например, статистическое исследование ГИБДД позволило установить функцию распределения вероятностей аварий в зависимости от времени года, погоды и времени суток. Тогда неконтролируемый фактор – «авария во время поездки» является случайным фактором.
Определение 6. Целевая функция – это математический эквивалент цели операции, позволяющий количественно оценивать степень достижения этой цели. То есть, критерий операции – это функция
f : X
Y
Z 
Rm,
которая любому набору (х,y,z)X
YZ (хX, yY, zZ) ставит в соответствие набор из чисел (f1(x, y, z),…, fm(x, y, z)), m – число составляющих цели. Если m> 1, то модель является многокритериальной.
Так в примере с поездкой на работу f1 отвечает качественной цели «не опоздать на работу», а f2 – количественной «стоимость поездки».
В соответствии с двумя видами целей можно выделить два вида целевой функции:
качественная функция, в нашем примере f1(x,y,z). Для качественной цели можно положить f1(x,y,z)=1, если цель выполнена (не опоздал на работу) и f1(x,y,z)=0, если цель не выполнена (опоздал на работу);
количественная функция, в нашем примере f2(x,y,z) – стоимость поездки.
ОС обычно сталкивается с необходимостью выбора конкретного способа действий из некоторого множества вариантов. Когда цель определена, оптимальным считается такой способ действий, который в большей степени способствует достижению этой цели. Для целевой функции операции это будет выбор такого значения xÎX, которое доставляет наибольшее (например, в случае прибыли) или наименьшее (например, в случае затрат) значение из всех возможных.
Итак, операция предполагает наличие цели, множества контролируемых факторов и множества неконтролируемых факторов.
Определение 7. Математической моделью операции называется набор
(1)
Отсутствие тех или иных неконтролируемых факторов будем обозначать пустотой соответствующего множества (например 
Æ).
В модели операции множество X не может быть пустым, более того, оно должно содержать не меньше двух элементов, в противном случае, у ОС не будет выбора и, следовательно, не будет необходимости в привлечении математического аппарата для принятия решения. Также обязательным в модели операции является наличие целевой функции.
В теории принятия решений различают следующие варианты наличия различных неконтролируемых факторов:
1) Æ=
– принятие решения в условиях определенности;
2) Æ, 
Æ – принятие решения в условиях неопределенности;
3) 
Æ, 
Æ – принятие решения в условиях риска;
4) Æ, Æ – принятие решения в условиях риска и неопределенности.
Скидка 30% по промокоду Diplom2020
Получи промокод на скидку 20%
